Скрученный ромбоикосододекаэдр

Скру́ченный ромбоикосододека́эдр^[1] — один из многогранников Джонсона (J₇₂, по Залгаллеру — М₆+М₁₄+М₆=М₆+М₁₃+2М₆).

Скрученный ромбоикосододекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	62 грани 120 рёбер 60 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников
Конфигурация вершины	10(3.42.5) 4x5+3x10(3.4.5.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J72, М6+М14+М6, М6+М13+2М6
Группа симметрии	C5v

Составлен из 62 граней: 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 7 окружены пятью квадратными, остальные 5 — четырьмя квадратными и треугольной; среди квадратных граней 20 окружены двумя пятиугольными и двумя треугольными, 5 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, остальные 5 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 15 окружены тремя квадратными, остальные 5 — пятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 55 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 5 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между двумя квадратными, остальные 55 — между квадратной и треугольной.

У скрученного ромбоикосододекаэдра 60 вершин. В каждой сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Скрученный ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём часть — любой пятискатный купол (J₅), — и повернув его на 36° вокруг оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; описанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

• 
  Ромбоикосододекаэдр
• 
  Скрученный ромбоикосододекаэдр

Метрические характеристики

Если скрученный ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 59{,}3059828a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\left(60+29{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 41{,}6153238a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}2329505a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}1762509a.}$