Смежностный многогранник

k-Смежностный многогранник — это выпуклый многогранник, в котором любое k-элементное подмножество его вершин является множеством вершин некоторой грани этого многогранника.

Определения

Выпуклый многогранник, в котором любое k-элементное подмножество его вершин является множеством вершин некоторой грани этого многогранника, называется k-смежностным^[1].

Простой многогранник называется двойственно смежностным, если любые k его гиперграней имеют непустое пресечение (которое в этом случае является гранью коразмерности k) ^[2].

Говорят, что многогранник смежностный без спецификации k, если он k-смежностный для ${\displaystyle k=\lfloor d/2\rfloor }$. Если исключить симплексы, это будет максимально возможное значение для k. Фактически, любой многогранник, k-смежностный для некоторого ${\displaystyle k\geq 1+\lfloor d/2\rfloor }$, является симплексом^[3].

Примеры

2-смежностный многогранник — это многогранник, в котором каждая пара вершин связана ребром. Таким образом, граф 2-смежностного многогранника является полным графом. 2-смежностные многогранники с числом вершин более четырёх могут существовать только в пространствах размерности 4 и выше (и, в общем случае, k-смежностный многогранник, отличный от симплекса, требует размерности 2k и выше).

Произведение ${\displaystyle P=\Delta ^{2}\times \Delta ^{2}}$ двух треугольников является простым многогранником и легко видеть, что любые две его гиперграни пересекаются по некоторой 2-грани. Таким образом, этот многогранник является двойственно 2-смежностным. Полярный многогранник ${\displaystyle P^{*}}$ является смежностным симплициальным 4-многогранником^[2].

d-Симплекс является d- смежностным многогранником.

В k-смежностном многограннике с ${\displaystyle k\geqslant 3}$, любая 2-грань должна быть треугольной, а в k- смежностном многограннике с ${\displaystyle k\geqslant 4}$ любая 3-грань должна быть тетраэдром. В общем случае в любом k-смежностном многограннике все грани размерности меньшей k являются симплексами.

Циклические многогранники

Циклические многогранники, образованные как выпуклые оболочки конечного числа точек кривой моментов (t, t², ..., t^d) в d-мерном пространстве, автоматически являются смежностными многогранниками. (Из тождества для определителя Вандермонда вытекает, что никакие (d + 1) точек на кривой моментов не лежат на одной аффинной гиперплоскости. Таким образом, многогранник является симплициальным d-многогранником^[2])

Теодор Моцкин высказал гипотезу, что все смежностные многогранники комбинаторно эквивалентны циклическим многогранникам^[4]. Однако, вопреки этому, существует много смежностных многогранников, не являющихся циклическими — число комбинаторно различных смежностных многогранников растёт суперэкспоненциально как по числу вершин, так и по размерности^[5].

Общие свойства

Выпуклая оболочка множества нормально распределённых случайных точек, когда число точек пропорционально размерности, с большой вероятностью является k-смежностным многогранником для k, которое также пропорционально размерности^[6].

Число граней всех размерностей смежностного многогранника в пространствах чётной размерности определяется исключительно размерностью пространства и числа вершин уравнением Дена — Сомервиля — число k-мерных граней f_k удовлетворяет неравенству

${\displaystyle f_{k-1}\leq \sum _{i=0}^{d/2}{}^{*}\left({\binom {d-i}{k-i}}+{\binom {i}{k-d+i}}\right){\binom {n-d-1+i}{i}},}$

где звёздочка означает прекращение суммирования на ${\displaystyle i=\lfloor d/2\rfloor }$ и конечный член суммы должен быть поделён на два, если d чётно^[7]. Согласно теореме о верхней оценке^[англ.] Макмуллена^[8], смежностные многогранники достигают максимального числа граней среди n-вершинных d-мерных выпуклых многогранников.

Обобщённая версия задачи со счастливым концом применяется к набору точек в пространстве высокой размерности и подразумевает, что для любой размерности d и любого n > d существует число m(d,n) со свойством, что любые m точек в общем положении в d-мерном пространстве содержит подмножество из n точек, образующих вершины смежностного многогранника^[9][10]

Гипотеза Максименко

Число вершин 2-смежностного многогранника не превосходит числа его фасет. Гипотеза справедлива для случаев d < 7 (малая размерность) и ${\displaystyle f_{0}<d+6}$(небольшое число вершин, f₀ — число вершин)^[1].