Средняя линия

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок в треугольнике, соединяющий середины двух сторон этого треугольника^[1].

Свойства

• средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон^[2];
• средняя линия треугольника равна половине стороне, параллельной ей;
• средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомететичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
• три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.
• Если из двух вершин треугольника провести сразу две пары биссектрис (две внутренние и две внешние), а затем на четыре полученные биссектрисы ортогонально спроектировать третью вершину, тогда полученные четыре точки проекций вершины на биссектрисы будут лежать на одной прямой (коллинеарными)^[3]. Эта прямая является средней линией треугольника, параллельной той стороне, концами которой являются упомянутые выше две вершины. Точнее, часть этой средней линии оказывается её продолжением за пределы треугольника.

Признаки

• Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок — средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны.

• Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
• Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
• Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
• Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
• Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
• В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок в трапеции, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле: ${\displaystyle EF={\frac {AD+BC}{2}}}$, где AD и BC — основания трапеции.

Свойства

• средняя линия параллельна основаниям;
• средняя линия равна полусумме оснований;
• средняя линия разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как Архивная копия от 12 августа 2017 на Wayback Machine

${\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3\,BC+AD}{BC+3\,AD}}}$

См. также

• Теорема Вариньона (геометрия)