Теорема Витта

Не следует путать с теоремой Виета.

Теорема Витта — теорема о свойствах конечномерных ортогональных пространств над полями произвольного вида. Она утверждает, что любая изометрия между двумя подпространствами конечномерного ортогонального векторного пространства может быть продолжена на все пространство.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle L}$ — невырожденное конечномерное ортогональное векторное пространство (пространство с невырожденной симметричной или кососимметричной билинейной формой), ${\displaystyle L^{\prime },L''\subset L}$ — два его изометричных подпространства. Тогда любая изометрия ${\displaystyle I^{\prime }:L^{\prime }\rightarrow L''}$ может быть продолжена до изометрии ${\displaystyle I:L\rightarrow L}$; то есть, сужение ${\displaystyle I}$ на ${\displaystyle L^{\prime }}$ совпадает с ${\displaystyle I^{\prime }}$.

Следствия

• Теорема о сокращении: Предположим ${\displaystyle h}$ не вырожденная квадратичная форма и форма ${\displaystyle h\oplus g_{1}}$ эквивалентна форме ${\displaystyle h\oplus g_{2}}$ над полем характеристики не равной 2. Тогда форма ${\displaystyle g_{1}}$ эквивалентна форме ${\displaystyle g_{2}}$ над этим полем.

Литература

• Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
• А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. — Санкт-Петербург: Лань, 2008. — С. 304. — ISBN 978-5-8114-0612-8.