Теорема Гельфонда — Шнайдера

Теорема Гельфонда—Шнайдера — теорема в теории чисел, которая устанавливает трансцендентность большого класса чисел и тем самым решает (утвердительно) Седьмую проблему Гильберта. Была доказана независимо в 1934 году советским математиком Александром Гельфондом^[1] и немецким математиком Теодором Шнайдером^[2].

Формулировка

Если ${\displaystyle a,b}$ — алгебраические числа, причём ${\displaystyle a}$ не ноль и не единица, а ${\displaystyle b}$ иррационально, то любое значение ${\displaystyle a^{b}}$ — трансцендентное число.

Эквивалентные формулировки для логарифмов (основание логарифма выбирается произвольно)^[3]:

Если ${\displaystyle a,b}$ — алгебраические числа, не равные нулю или единице, то ${\displaystyle \log(b)/\log(a)}$ — либо рациональное, либо трансцендентное число.

Если ${\displaystyle \log(a),\log(b)}$ линейно независимы над полем рациональных чисел, то они линейно независимы и над полем алгебраических чисел.

Про обобщение последней формулировки см. статью Теория трансцендентных чисел.

Пояснения

• Значения ${\displaystyle a,b}$ могут быть не только вещественными, но и комплексными числами; поскольку комплексная степень многозначна, в формулировке особо подчёркнуто: любое значение.
• Если убрать требование, чтобы ${\displaystyle a,b}$ были алгебраическими числами, теорема будет неверна. Пример:

${\displaystyle {\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.}$

Из примера, с учётом теоремы, также очевидно, что ${\displaystyle {{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}}$ — трансцендентное число.

• Курт Малер^[англ.] доказал аналог данной теоремы для p-адических чисел.

Следствия

Из теоремы вытекает трансцендентность некоторых важных математических констант.

• Постоянная Гельфонда — Шнайдера ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ и уже упомянутый выше квадратный корень из неё: ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.}$
• Постоянная Гельфонда ${\displaystyle e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots }$, а также${\displaystyle i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{-\pi /2}=0.207879576\ldots .}$

См. также

• Теорема Линдемана — Вейерштрасса