Теорема Мореры

Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:

Если функция ${\displaystyle f(z)}$ комплексного переменного ${\displaystyle z}$ в области ${\displaystyle D}$ непрерывна, и интеграл от неё по любому замкнутому спрямляемому контуру ${\displaystyle \Gamma \subset D}$ равен нулю, то есть ${\displaystyle \oint \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=0,}$ то ${\displaystyle f(z)}$ — аналитическая функция в ${\displaystyle D}$.

Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области ${\displaystyle D}$.

Идея доказательства

Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в ${\displaystyle D}$, т. е. существует такая функция ${\displaystyle F(z)}$, что

${\displaystyle {\frac {dF(z)}{dz}}=f(z).}$

Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому её производная ${\displaystyle f}$ также будет аналитической.

Применение

Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность ${\displaystyle f_{n}}$ аналитичных функций равномерно сходится к функции ${\displaystyle f}$, то

${\displaystyle \oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)\,dz=0,}$

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

и гамма-функции Эйлера

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}\,dt.}$

Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по принципу симметрии.

История

Эта теорема была получена итальянским математиком Джиачинто Морерой^[итал.] в 1886 году.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Morera’s Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.