Теорема Рунге

Теорема Рунге (также аппроксимационная теорема Рунге) в комплексном анализе — утверждение о возможности равномерного приближения голоморфной функции многочленами. Сформулирована Карлом Рунге в 1885 году.

Формулировка

Если ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ — компактное пространство, ${\displaystyle A}$ — множество, содержащее хотя бы по одной точке из каждой ограниченной связной компоненты множества ${\displaystyle {\mathbb {C} }\setminus K}$ и ${\displaystyle f}$ голоморфная в окрестности ${\displaystyle K}$, то существует последовательность рациональных функций ${\displaystyle \{r_{n}\}}$ с полюсами во множестве ${\displaystyle A}$, приближающая функцию ${\displaystyle f}$ равномерно.

Обобщения

Всякая голоморфная в произвольной области ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ функция может быть равномерно приближена последовательностью рациональных функций с полюсами вне ${\displaystyle D}$, это утверждение также фигурирует как теорема Рунге.

Ещё более общий результат — теорема Мергеляна, утверждающая о необходимости и достаточности для равномерного приближения многочленами функции, голоморфной внутри компакта ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ и непрерывной на нём, голоморфного продолжения во все ограниченные связные компоненты множества ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash K}$.

Литература

Рунге Теорема — статья из Математической энциклопедии. Чирка Е. М.