Теорема Уитни о вложении

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое ${\displaystyle m}$-мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в ${\displaystyle 2m}$-мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Этот результат оптимален, например, если ${\displaystyle m}$ — степень двойки, то ${\displaystyle m}$-мерное проективное пространство невозможно вложить в ${\displaystyle (2m-1)}$-мерное евклидово пространство.

Схема доказательства

Случаи ${\displaystyle m=1}$ и ${\displaystyle m=2}$ устанавливаются напрямую.

Для доказательства случая ${\displaystyle m\geqslant 3}$ используется факт, что гладкое отображение общего положения ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}}$ является погружением с конечным количеством точек трансверсального самопересечения.

Избавиться от этих точек самопересечения можно, несколько раз применив трюк Уитни. Он состоит в следующем. Возьмем точки ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} ^{2m}}$ самопересечения отображения ${\displaystyle f}$, имеющие разные знаки. Возьмем точки ${\displaystyle x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}\in M}$, для которых ${\displaystyle f(x_{p})=f(y_{p})=p}$ и ${\displaystyle f(x_{q})=f(y_{q})=q}$. Соединим ${\displaystyle x_{p}}$ и ${\displaystyle x_{q}}$ гладкой кривой ${\displaystyle x\subset M}$. Соединим ${\displaystyle y_{p}}$ и ${\displaystyle y_{q}}$ гладкой кривой ${\displaystyle y\subset M}$. Тогда ${\displaystyle f(x\cup y)}$ есть замкнутая кривая в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$. Далее построим отображение ${\displaystyle h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}}$ с границей ${\displaystyle h(\partial D^{2})=f(x\cup y)}$. В общем положении, ${\displaystyle h}$ является вложением и ${\displaystyle h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})}$ (как раз здесь используется то, что ${\displaystyle m\geqslant 3}$). Тогда можно изотопировать ${\displaystyle f}$ в маленькой окрестности диска ${\displaystyle h(D^{2})}$ так, чтобы эта пара точек самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку для ${\displaystyle m=1}$ (в которой свойства диска оказались выполнены случайно, а не по общему положению). Аккуратное доказательство приведено в пункте 22.1 книги Прасолова^[1].

Приведем набросок другого способа избавиться от точек самопересечения отображения общего положения ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}}$. Он основан на важной идее поглощения. (Иногда данное применение этой другой идеи ошибочно называют трюком Уитни.) Возьмем точку ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2m}}$ самопересечения отображения ${\displaystyle f}$. Возьмем точки ${\displaystyle x,y\in M}$, для которых ${\displaystyle f(x)=f(y)=p}$. Соединим ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ гладкой кривой ${\displaystyle l\subset M}$. Тогда ${\displaystyle f(l)}$ есть замкнутая кривая в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$. Далее построим отображение ${\displaystyle h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}}$ с границей ${\displaystyle h(\partial D^{2})=f(l)}$. В общем положении, ${\displaystyle h}$ является вложением и ${\displaystyle h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})}$ (как раз здесь используется то, что ${\displaystyle m\geqslant 3}$). Теперь можно изотопировать ${\displaystyle f}$ в маленькой окрестности диска ${\displaystyle h(D^{2})}$ так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. См. детали и обобщения в книге Рурке и Сандерсона^[2] и параграфе 8 обзора Скопенкова^[3]. Это рассуждение обычно проводят в кусочно-линейной категории. В гладкой же категории (как здесь) для последней деформации нужно использовать теорему Хефлигера о незаузленности сфер (см. ).

Вариации и обобщения

Пусть ${\displaystyle M}$ есть гладкое ${\displaystyle m}$-мерное многообразие, ${\displaystyle m>1}$.

• Если ${\displaystyle m}$ не является степенью двойки, тогда существует вложение ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$
• ${\displaystyle M}$ может быть погружено в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$
  • Более того ${\displaystyle M}$ может быть погружено в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-a}}$, где ${\displaystyle a}$ есть число единиц в двоичном представлении ${\displaystyle m}$.
    • Последний результат оптимален, для любого ${\displaystyle m}$ можно построить ${\displaystyle m}$-мерное многообразие (произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-a-1}}$.
• Теорема Мостоу — Паласа^[англ.] даёт эквивариантный вариант теоремы Уитни о вложении.^[4][5]