Теорема Фишера для нормальных выборок

Теоре́ма Фи́шера для норма́льных вы́борок в математической статистике — это утверждение, характеризующее распределение выборочной дисперсии.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})}$ — независимая выборка из нормального распределения. Пусть ${\displaystyle {\overline {X}}}$ — выборочное среднее, а ${\displaystyle S^{2}}$ — выборочная дисперсия. Тогда

• ${\displaystyle {\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\sim \mathrm {N} (0,1)}$
• Случайные величины ${\displaystyle {\overline {X}}}$ и ${\displaystyle S^{2}}$ независимы;
• Случайная величина

${\displaystyle {\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$

имеет распределение хи-квадрат с ${\displaystyle n-1}$ степенями свободы^[1].

См. также

• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.