Топологическая K-теория

В математике, топологическая K-теория является подразделом алгебраической топологии. В начале своего существования она применялась для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, признанных в настоящее время частью (общей) K-теории, введенной Александром Гротендиком . Ранние работы по топологической K-теории принадлежат Майклу Атья и Фридриху Хирцебруху.

Определения

Пусть X — компактное хаусдорфово пространство и ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Тогда ${\displaystyle K_{k}(X)}$ определяется как группа Гротендика коммутативного моноида конечномерных ${\displaystyle k}$-векторных расслоений над X с суммой Уитни. Тензорное произведение расслоений задаёт на K-теории структуру коммутативного кольца. Без индекса, ${\displaystyle K(X)}$ обычно обозначает комплексную K-теорию, тогда как вещественная K-теория иногда обозначается как ${\displaystyle KO(X)}$. Далее мы рассматриваем комплексную K-теорию.

В качестве начального примера заметим, что K-теорией точки являются целые числа. Это связано с тем, что все векторные расслоения над точкой тривиальны и поэтому классифицируются своим рангом, а группа Гротендика натуральных чисел это целые числа.

Существует редуцированная версия K теории, ${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$,которая определяется для X — компактных пространств с выделенной точкой (ср. приведенные гомологии ). Приведенную теорию можно интуитивно рассматривать как K(X) по модулю тривиальных расслоений. Она определяется как группа классов стабильной эквивалентности расслоений. Два расслоения E и F называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные расслоения ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$и ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$, такие что ${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}}$ , Это отношение эквивалентности задает структуру группы на множестве векторных расслоений, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. С другой стороны , ${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$ можно определить как ядро отображения ${\displaystyle K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z} }$ индуцируемого вложением базовой точки x₀ в X.

K-теория является мультипликативной (обобщенной) когомологической теорией. Короткая точная последовательность пространств с выделенной точкой (X, A)

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)}$

Продолжается до длинной точной последовательности

${\displaystyle \cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A).}$

Пусть Sⁿ будет n-ой приведенной надстройкой пространства. Тогда определим:

${\displaystyle {\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.}$

Отрицательные индексы выбираются таким образом, чтобы кограничное отображение увеличивало размерность.

Часто имеет смысл рассматривать нередуцированную версию этих групп, определенную как:

${\displaystyle K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).}$

Где ${\displaystyle X_{+}}$ это ${\displaystyle X}$ с отдельной выделенной точкой, помеченной знаком «+». ^[1]

Наконец, теорема Ботта о периодичности, сформулированная ниже, даёт нам теории с положительными индексами.

Свойства

• Kⁿ и, соответственно ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n}}$ являются контравариантными функторами из гомотопической категории пространств (с выделенной точкой) в категорию коммутативных колец. Следовательно, например, K-теория над стягиваемыми пространствами это ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

• Спектром K-теории является ${\displaystyle BU\times \mathbb {Z} }$ (с дискретной топологией на ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ), т.е. ${\displaystyle K(X)\cong \left[X^{+},\mathbb {Z} \times BU\right],}$ где [, ] обозначает классы отображений помеченных пространств с точностью до гомотопии, а BU - копредел классифицирующих пространств унитарных групп: ${\displaystyle BU(n)\cong \operatorname {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).}$ Аналогично,

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].}$

Для вещественной K теории используется пространство BO .

• Аналогом операций Стинрода в K-теории являются операции Адамса . Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической K-теории.

• Принцип расщепления в топологической K-теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах одномерных расслоений.

• Изоморфизм Тома в топологической K теории это:

${\displaystyle K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),}$

где T(E) - пространство Тома векторного расслоения E над X. Это выполняется когда E является спинарным расслоением.

• Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха позволяет вычислять K-группы из обычных групп когомологий.

• Топологическую K-теория можно обобщить до функтора на C*-алгебрах.

Периодичность Ботта

Периодичность, названную в честь Рауля Ботта, можно сформулировать так:

• ${\displaystyle K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),}$ и ${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}}$, где H - класс тавтологического расслоения на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),}$ то есть на сфере Римана.

• ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).}$

• ${\displaystyle \Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .}$

В вещественной K теории существует похожая периодичность, только по модулю 8.

Приложения

Два самых известных применения топологической K-теории принадлежат Фрэнку Адамсу . Сначала он решил задачу о единичном инварианте Хопфа, сделав вычисления с помощью операций Адамса . Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторных полей на сферах.

Характер Чженя

Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, которая связывает топологическую K-теорию CW-комплекса ${\displaystyle X}$ с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм

${\displaystyle ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$

такой, что

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия ${\displaystyle X}$.

См. также

• Теорема Атьи-Зингера об индексе