C*-алгебра

${\displaystyle C^{*}}$-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.

Впервые были рассмотрены для применения в квантовой механике в качестве алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр, впоследствии ставший известным как алгебры фон Неймана. В 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали общее определение ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр^[1], с того момента ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры нашли широкое применение в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований стала классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр.

Определения

${\displaystyle C^{*}}$-алгебра определяется^[2] как банахова алгебра ${\displaystyle A}$ над полем комплексных чисел, для каждого элемента которой ${\displaystyle x\in A}$ которой определено отображение ${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$ со следующими свойствами:

• инволютивность: ${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$,
• согласованность со сложением: ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$,
• согласованность с умножением: ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$,
• для всякого ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}}$,
• выполнено так называемое ${\displaystyle C^{*}}$-тождество: ${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|}$

Замечания

• Все эти свойства без ${\displaystyle C^{*}}$-тождества определяют ${\displaystyle ^{*}}$-алгебру (то есть ${\displaystyle C^{*}}$-алгебра — это ${\displaystyle ^{*}}$-алгебра с ${\displaystyle C^{*}}$-тождеством). ${\displaystyle C^{*}}$-тождество эквивалентно формуле:

  ${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2}}$.

• ${\displaystyle C^{*}}$-тождество является весьма сильным требованием, например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что ${\displaystyle C^{*}}$-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

  ${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1\ {\text{— необратим}}\}}$.

• Ограниченный оператор ${\displaystyle \pi \colon A\to B}$ между ${\displaystyle C^{*}}$-алгебрами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называется ${\displaystyle ^{*}}$-гомоморфизмом, если для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ из ${\displaystyle A}$ выполняется:

  ${\displaystyle \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)}$

и для всех ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle A}$ выполняется:

${\displaystyle \pi (x^{*})=\pi (x)^{*}}$.

• В случае ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр, любой ${\displaystyle ^{*}}$-гомоморфизм ${\displaystyle \pi }$ между ${\displaystyle C^{*}}$-алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой ${\displaystyle \leqslant 1}$. Кроме того, инъективный ${\displaystyle ^{*}}$-гомоморфизм между ${\displaystyle C^{*}}$-алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями ${\displaystyle C^{*}}$-тождества.

• Биективный ${\displaystyle ^{*}}$-гомоморфизм ${\displaystyle \pi }$ называется ${\displaystyle C^{*}}$-изоморфизмом, и в этом случае ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются изоморфными.

Примеры

Частным случаем ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры является комплексная алгебра над полем ${\displaystyle A}$ линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

• ${\displaystyle A}$ является топологически замкнутым множеством в топологии операторной нормы,
• ${\displaystyle A}$ замкнуто относительно операции взятия сопряжений операторов.

Другой важный класс негильбертовых ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр составляют алгебры непрерывных функций ${\displaystyle C_{0}(X)}$ на пространстве ${\displaystyle X}$.