Аналлагматическая геометрия

Аналлагмати́ческая геоме́трия (англ. anallagmatic geometry^[1]; фр. Géométrie anallagmatique^[2]) на плоскости — обширный^[3] раздел геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющихся при аналлагматических преобразованиях (англ. anallagmatic transformations^[4]; фр. transformations anallagmatiques^[5]), то есть преобразованиях, переводящих окружности в окружности^[3][6]. Иногда под аналлагматической геометрией понимают только её часть на расширенной плоскости^[7][8].

Направленная окружность, определённая линейным элементом

Замечание. В контекстах англоязычных источников малоизвестное понятие «аналлагматическая геометрия» заменяют на его частный случай «инверсная геометрия^[англ.]» (англ. inversive geometry^[9]), которое, соответственно, малоизвестно в русскоязычных источниках.

Синонимы: аналагматическая геометрия (устаревший)^[3]; конфо́рмная геоме́трия (как частный двумерный случай)^[3][6]; кругова́я геоме́трия^{[комм 1][3][10]}; геоме́трия окру́жностей^{[комм 1][11]}.

Замечание. В англоязычных источниках понятие circle geometries используется только во множественном числе (как и в русскоязычных «геометрия окружностей»), так как единственное число circle geometry означает «геометрия окружности^[англ.]», то есть геометрические элементы окружности, или просто окружность.

Аналлагматическая геометрия на плоскости имеет три следующие основные ветви^[11][12][13]:

• точечная аналлагматическая геометрия с точечными аналлагматическими (круговыми) преобразованиями на расширенной плоскости➤ (принципы заложены немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом (1790—1868));
• осевая аналлагматическая геометрия осевыми аналлагматическими (круговыми) преобразованиями на расширенной плоскости➤ (принципы заложены французским математиком Эдмоном Лагерром (1834—1886));
• касательная аналлагматическая геометрия касательными аналлагматическими (круговыми) преобразованиями на расширенной плоскости➤ (принципы заложены норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899)).

По причине широкой известности точечной аналлагматической геометрии именно её называют иногда просто аналлагматической, или конформной, геометрией^[3][6], а плоскость, расширенную одной бесконечной точкой, круговой^[14], или конформной, или аналлагматической^{[комм 1][15]}, плоскостью.

Определение аналлагматической геометрии

Аналлагматическая геометрия^{[комм 1][комм 2]} на плоскости — обширный^[3] раздел геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющихся при преобразованиях, переводящих окружности в окружности^[3]. Иногда под аналлагматической геометрией понимают только её часть на расширенной плоскости^[7][8].

Иногда используются следующие синонимы на расширенной плоскости: конфо́рмная геоме́трия (как частный двумерный случай)^[3]; то́чечная кругова́я геоме́трия^[3][10]; геоме́трия окру́жностей^[11].

Расширенная плоскость в данном случае получена добавлением к обычной плоскости «бесконечно удалённой точки». Этот частный случай расширенной плоскости называется круговой^[14], или конформной, или аналлагматической^{[комм 1][15]}, плоскостью.

Содержание настоящего материала переносится с геометрии окружностей на геометрию сфер почти без принципиально новых идей^[12].

Аналлагматическая геометрия на плоскости имеет три следующие основные ветви^[11][12][13]:

• точечная аналлагматическая геометрия с точечными аналлагматическими (круговыми) преобразованиями на расширенной плоскости➤ (принципы заложены немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом (1790—1868));
• осевая аналлагматическая геометрия осевыми аналлагматическими (круговыми) преобразованиями на расширенной плоскости➤ (принципы заложены французским математиком Эдмоном Лагерром (1834—1886));
• касательная аналлагматическая геометрия касательными аналлагматическими (круговыми) преобразованиями на расширенной плоскости➤ (принципы заложены норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899)).

Эти три аналлагматические геометрии обладают следующими особенностями^[16]:

• точечная аналлагматическая геометрия:

• основной элемент — точка;
• окружность задаётся как множество точек;
• прямая считается частным случаем окружности;
• прямые и окружности равноправны;

• осевая аналлагматическая геометрия;

• основной элемент — прямая;
• окружность задаётся как множество прямых;
• точка считается частным случаем окружности;
• точки и окружности равноправны;

• касательная аналлагматическая геометрия.

• основной элемент — линейный элемент;
• окружность задаётся как множество линейных элементов;
• прямая и точка считаются частными случаями окружности;
• прямые, точки и окружности равноправны.

Точечная аналлагматическая геометрия

То́чечная аналлагмати́ческая геоме́трия на расширенной плоскости — одна из трёх основных ветвей аналлагматической геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющихся при точечных круговых преобразованиях, то есть точечных преобразованиях, переводящих окружности в окружности^[8][11][10].

Синоним: аналлагмати́ческая геоме́трия Мёбиуса^[8][10].

Окружность как множество точек

Окружностью называется множество всех точек плоскости таких, что они удалены от фиксированной точки плоскости на одно и то же расстояние. Это расстояние называется радиусом окружности, а фиксированная точка — центром окружности^[17].

Если радиус окружности равен нулю, то она вырождается в окружность нулевого радиуса — точку. Обычная окружность с положительным радиусом называются собственной окружностью. Точки и собственные окружности называются окружностями конечного радиуса^[17].

Если радиус окружности устремить к бесконечности, то она вырождается в окружность бесконечного радиуса — прямую. Прямые и собственные окружности называются окружностями ненулевого радиуса^[18].

Если радиус окружности устремить к бесконечности, то она вырождается в окружность бесконечного радиуса — прямую. Прямые и собственные окружности называются окружностями ненулевого радиуса^[18].

Обобщающее определение окружности следующее^[18]: окружностями называются собственные окружности, точки и прямые.

Две окружности называются касающимися, если они имеют только одну общую точку, а именно^[18]:

• две собственные окружности касаются, если они имеют только одну общую точку;
• собственная окружность и прямая касаются, если они имеют только одну общую точку;
• собственная окружность и точка касаются, если точка лежит на окружности;
• прямая и точка касаются, если точка лежит на прямой;
• две прямые касаются, если они параллельны.

• Все случае касания окружностей на плоскости
• 
  Касание двух собственных окружностей
• 
  Касание собственной окружности и прямой
• 
  Касание собственной окружности и точки
• 
  Касание прямой и точки
• 
  Касание двух прямых

Бесконечно удалённой точкой называется предел, к которому стремится точка, неограниченно удаляющаяся по прямой на плоскости в любом направлении. Бесконечно удалённая точка (любая прямая плоскости) инцидентна любой прямой плоскости (бесконечно удалённой точке). Бесконечно удалённая точка устраняет различие между окружностями и прямыми, поскольку прямые с бесконечно удалённой точкой замкнуты, они «замыкаются в бесконечности»^[19].

Расширенной, или круговой^[14], или конформной, или аналлагматической^{[комм 1][15]}, плоскостью называется плоскость, расширенная одной бесконечно удалённой точкой. Это понятие — математическая абстракция, наряду с понятием обычной бесконечной плоскости^[19].

Точечным круговым преобразованием, или круговым преобразованием, или преобразованием Мёбиуса, называется преобразование круговой плоскости, отображающее прямые и окружности снова в прямые и окружности, то есть отображающее в себя множество всех окружностей ненулевого радиуса^[8][10].

Множество всех точечных круговых преобразований совпадает с множеством дробно-линейных преобразований плоскости^[20].

Группой точечных круговых преобразований называется множество всех точечных круговых преобразований, а также множество всех касательных круговых преобразований. Группы точечной аналлагматической геометрии и касательной аналлагматической геометрии совпадают^[11].

Осевая аналлагматическая геометрия

Определение осевой аналлагматической геометрии

Осева́я аналлагмати́ческая геоме́трия на расширенной плоскости — одна из трёх основных ветвей аналлагматической геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющихся при осевых круговых преобразованиях, то есть осевых преобразованиях, переводящих окружности в окружности^[11].

Синоним: геоме́трия Лаге́рра^[21][22].

Свойства точек аналогичны свойствам прямых, например^[23]:

• точку (прямую) можно задать двумя прямыми (точками)
• точки (прямые), лежащие между двумя фиксированными точками (прямыми), инцидентными некоторой прямой (точке), составляют отрезок (угол);
• три вершины (стороны) треугольника инцидентны описанной (вписанной) окружности.

Окружность можно определять разными способами^[23]: в точечной аналлагматической геометрии — как множество точек, принадлежащих окружности; в осевой аналлагматической геометрии — как множество прямых, касательных к окружности.

Окружности и точки в осевой аналлагматической геометрии понимаются следующим образом^[23].

Окружность — множество всех прямых плоскости, равноудалённых от фиксированной точки плоскости. Эта фиксированная точка — центр окружности, а расстояние от центра до прямых — радиус окружности^[23].

Точка — множество всех прямых плоскости, проходящих через эту точку. Другими словами, точка — это окружность нулевого радиуса^[23].

• Геометрические образы, определяемые прямыми
• 
  Окружность
• 
  Точка

Направленная окружность и направленная прямая

Обзорные статьи: Ориентация, Окружность и Прямая

Понятие окружности приходится уточнять по той причине, что сходство между окружностью точечной аналлагматической геометрии как множеством точек и окружностью осевой аналлагматической геометрии как множеством прямых в общем случае нарушается, например, по следующим причинам^[24]:

• у двух окружностей есть до двух общих точек, но до четырёх общих касательных прямых;
• для двух точек центры окружностей, через них проходящих, лежат на одной прямой, но для двух прямых центры окружностей, их касающихся, лежат на двух прямых;
• три точки лежат на одной окружности, но три прямые касаются четырёх окружностей.

Для устранения этих нестыковок вводят следующие понятия^[24].

Направленная окружность, или цикл, — окружность, для которой окончательно выбрано одно из двух направлений^[24].

Направленная прямая, или ось, — прямая, для которой окончательно выбрано одно из двух направлений^[24].

Две направленные окружности касаются, если их направления в общей точке совпадают. Направленная окружность и направленная прямая касаются, если их направления в общей точке совпадают. Две направленные прямые параллельны, если их направления совпадают^[24].

• Касание направленных окружностей
• 
  Касающиеся направленные окружности
• 
  Не касающиеся направленные окружности, касающиеся как обычные окружности

Итак, цель введения направленных окружностей и прямых достигнута, поскольку^[24]:

• у двух направленных окружностей есть до двух общих касательных направленных прямых;
• для двух направленных прямых центры направленных окружностей, их касающихся, лежат только на одной прямой;
• три направленные прямые касаются только одной направленной окружности.

Осевое преобразование

Осевым преобразованием плоскости называется преобразование направленных прямых плоскости, то есть преобразования плоскости, которые отображают любую направленную прямую снова в направленную прямую. В общем случае осевое преобразование не переводит точки опять в точки: если точка — это множество проходящих через неё направленных прямых, то осевое преобразование может отобразить эту точку в некоторую кривую, задаваемую своими касательными — образами направленных прямых, проходящих через точку. Аналогично точечное преобразование отображает прямую как множество её точек в некоторую кривую, задаваемую отображёнными точками^[21].

Осевым круговым преобразованием, или преобразованием Лагерра, называется осевое преобразование, отображающее любую направленную окружность ограниченного радиуса снова в направленную окружность ограниченного радиуса, то есть отображают множество касательных любой окружности снова в множество касательных некоторой окружности^[21][13].

Предложение 1. Множество всех осевых круговых преобразований образуют группу^[25].

Доказательство. Для этого множества выполняются все три аксиомы группы, так как осевые круговые преобразования — это преобразования в множестве направленных прямых плоскости^[25]:

• тождественное преобразование — круговое, поскольку отображает любую окружность в себя;
• для преобразования, отображающего окружности в окружности, обратное ему преобразование — тоже круговое;
• если два преобразования отображают окружности в окружности, то их последовательное выполнение также окружности в окружности.□

Группой осевых круговых преобразований называется множество всех осевых круговых преобразований^[25].

Касательная аналлагматическая геометрия

Определение касательной аналлагматической геометрии

Каса́тельная аналлагмати́ческая геоме́трия на расширенной плоскости — одна из трёх основных ветвей аналлагматической геометрии, изучающиая свойства фигур, сохраняющихся при касательных круговых преобразованиях, то есть касательных преобразованиях, переводящих окружности в окружности^[8][11].

Синонимы на расширенной плоскости: конта́ктная аналлагмати́ческая геоме́трия^[11]; кругова́я аналлагмати́ческая геоме́трия^[8]; аналлагмати́ческая геоме́трия прикоснове́ний^[8]; аналлагмати́ческая геоме́трия Ли^[8][26].

Точечная аналлагматическая геометрия имеет следующие особенности рассмотрения своих элементов^[16]:

• окружность — это множество точек, как говорится, их геометрическое место;
• прямая — частный случай окружности;
• основные элементы геометрии суть точки, в частности, рассматриваются только точечные преобразования круговой плоскости, то есть переводящие точки снова в точки, одна из которых — бесконечно удалённая.

Осевая аналлагматическая геометрия основными элементами имеет не точки, а прямые^[16]:

• окружность — это множество прямых линий;
• точка — частный случай окружности;
• основные элементы геометрии суть прямые.

Касательная аналлагматическая геометрия представляет собой более общую теорию по сравнению с двумя предыдущими аналлагматическими геометриями — точечной и осевой, поскольку в ней и точки, и прямые суть частные случаи окружности. При этом по-прежнему^[16]:

• как и в точечной аналлагматической геометрии имеется бесконечно удалённая точка;
• как и в осевой аналлагматической геометрии прямые и окружности имеют направление.

Линейный элемент

Обзорная статья: Ориентация

По причине того, что в касательной аналлагматической геометрии ни точки, ни прямые ничем не выделяются из окружностей, понимаемых в смысле этой геометрии, основной элемент здесь — линейный элемент^[16].

Линейный элемент

Линейный элемент — пара геометрических образов: точка и направленная прямая, проходящая через эту точку^[27][16]. Другими словами, линейный элемент — это точка и направление, заданное в этой точке. Бесконечно удалённый линейный элемент — пара геометрических образов: бесконечно удалённая точка плоскости и направление, которое определяется любой направленной прямой (параллельные прямые задают одно направление)^[16].

Окружности, точки и прямые в касательной аналлагматической геометрии понимаются следующим образом^[16]:

• направленной окружностью называется множество всех линейных элементов, каждый из которых определяется точкой этой окружности и касательной прямой к окружности в этой точке, причем направление линейного элемента совпадает с направлением окружности;
• точкой называется множество всех линейных элементов, каждый из которых имеет в своём составе эту точку;
• направленной прямой называется множество всех линейных элементов, каждый из которых определяется точкой этой прямой и направлением прямой.

• Геометрические образы, определяемые линейными элементами
• 
  Направленная окружность
• 
  Точка
• 
  Направленная прямая

Две направленные окружности, касающиеся по линейному элементу

Касающимися окружностями называются окружности, имеющие общий линейный элемент. Возможны следующие шесть разных пар геометрических элементов, представляющих собой две касающиеся окружности^[16]:

• две касающиеся направленные окружности;
• направленная окружность и направленная прямая, у которых в точке касания совпадают направления;
• две параллельные прямые, то есть прямые, которые не пересекаются и одинаково направлены;
• точку и проходящую через неё направленную окружность с любым направлением;
• точку и проходящую через неё направленную прямую с любым направлением;
• бесконечно удалённую точку и произвольную направленную прямую

Касательное преобразование

Касательным преобразованием, или преобразованием Ли, называется преобразование в множестве линейных элементов, отображающее любую кривую снова в некоторую кривую, другими словами, отображающее множество линейных элементов любой направленной кривой снова в множество линейных элементов некоторой направленной кривой^[27][26]. При этом, если кривые касаются, то касательное преобразование отображает их снова в касающиеся кривые. Именно это свойство переводить касательные окружности в касательные и дало название касательному преобразованию и касательной геометрии^[26]. Пример касательного преобразования — подерное преобразование^[27].

Касательным круговым преобразованием, или круговым преобразованием Ли, называется преобразование в множестве линейных элементов, отображающее любую окружность снова в некоторую окружность, другими словами, отображающее множество линейных элементов любой направленной окружности снова в множество линейных элементов некоторой направленной окружности. При этом, если окружности касаются, то касательное аналлагматическое преобразование отображает их снова в касающиеся окружности. Именно это свойство переводить касательные окружности в касательные и дало название касательному круговому преобразованию и касательной круговой геометрии^[26][13].

Группа точечных круговых преобразований

Группой точечных круговых преобразований называется множество всех касательных круговых преобразований, а также множество всех точечных круговых преобразований. Группы касательной аналлагматической геометрии и точечной аналлагматической геометрии совпадают^[11].

Точечные круговые преобразования и осевые круговые преобразования суть частные случаи касательных круговых преобразований, поэтому можно считать, что точечные и осевые круговые преобразования — это те касательные круговые преобразования, которые переводят соответственно точки в точки и прямые в прямые. Также имеются касательные круговые преобразования, точки и прямые не сохраняющие, которые можно получить, например, сделав сразу несколько как точечных, так и осевых круговых преобразования^[26].

Предложение. Любое касательное круговое преобразование есть композиция, то есть последовательно применение нескольких точечных и осевых круговых преобразований^[26].

Задача Аполлония. Если в задаче Аполлония три окружности направленные, то эта задача может иметь до двух решений. Отсюда следует, что в случае ненаправленных окружностей задача Аполлония может иметь до восьми решений, так как направления трёх окружностей можно выбрать восемью способами^[28].