Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Преобразование Мёбиуса

Из Википедии, свободной энциклопедии

Преобразование Мёбиуса
Remove ads

Преобразова́ние Мёбиуса — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства , представляющее собой композицию конечного числа инверсий относительно гиперсфер и отражений относительно гиперплоскостей[1][2].

Thumb
Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и сфере Римана (чёрная)

На комплексной плоскости преобразования Мёбиуса суть простейшие конформные преобразования, а в расширенных вещественных пространствах размерностей больше двух все конформные отображения мёбиусовы по теореме Лиувилля[1].

Общая мёбиусова группа — конечномерная группа всех преобразования Мёбиуса пространства [1].[2]

Мёбиусова группа подгруппа общей мёбиусовой группы всех преобразования Мёбиуса, сохраняющих ориентацию пространства , причём эта подгруппа изоморфна специальной ортогональной группе [1][3].

В англоязычной литературе термин «преобразование Мёбиуса» часто определяют только для частного случая преобразования Мёбиуса на расширенной комплексной плоскости, считающегося классическим, для которого в русскоязычной литературе используют термин дробно-линейное преобразование[4].

В классическом двумерном случае преобразование Мёбиуса, оно же круговое преобразование, определяется как отображающее окружность на окружность. Здесь возможны два случая[5]:

Для случая одноточечная компактификация прямой представляет собой проективно расширенную числовую прямую. На ней преобразования Мёбиуса могут быть определены аналогично комплексному случаю с помощью дробно-линейных функций.

Remove ads

Проективно расширенная числовая прямая

В случае пространство представляет собой расширенную числовую прямую. В этом случае преобразование Мёбиуса допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

Remove ads

Расширенная комплексная плоскость

Суммиров вкратце
Перспектива

В случае пространство можно рассматривать как расширенную комплексную плоскость. При таком рассмотрении частный случай преобразования Мёбиуса также называется дробно-линейным преобразованием и допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

В пространстве размерности 2 преобразование Мёбиуса переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Легко проверяются следующие простые свойства:

  1. Тождественное отображение также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить
  2. Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
  3. Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.

Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.

Алгебраические свойства

При умножении параметров , , , на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы , то есть имеет место эпиморфизм: .

Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца .

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию . Тогда, в зависимости от следа этой матрицы, равного , можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:

  • эллиптические: ;
  • параболические: ;
  • гиперболические: .

Геометрические свойства

Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение разложимо в суперпозицию четырёх функций:

где

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для трёх попарно различных точек существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в заданные три попарно различные точки . Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Если точка является образом точки , то выполняется равенство

которое (при условии, что при ) однозначно определяет искомое отображение

Преобразование Мёбиуса и единичный круг

Преобразование Мёбиуса

является автоморфизмом единичного круга тогда и только тогда, когда и .

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:

Примеры

Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:

Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость в единичный круг .

Remove ads

Пространства старших размерностей

Начиная с любое конформное отображение является преобразованием Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса имеют один из следующих видов:

  • ,

где , ортогональная матрица.

Примечания

Источники

Ссылки

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads