Тригамма-функция

Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$ и определяется как

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\ln \Gamma (z)\;,}$

Тригамма-функция действительного аргумента x

где ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функция^[1]. Из этого определения следует, что

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\psi (z)\;,}$

где ${\displaystyle \psi (z)}$ — дигамма-функция (первая из полигамма-функций)^[2].

Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}$

откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (англ. Hurwitz zeta-function)^[2],

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.}$

Эти формулы верны, когда ${\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }$ (в указанных точках функция ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$ имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).

Существуют также другие обозначения для ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$, используемые в литературе:

${\displaystyle \psi '(z),\;\;\;\psi ^{(1)}(z)\;.}$

Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции ${\displaystyle {\displaystyle F'(z)=\psi _{1}(z+1)}}$^[1].

Интегральные представления

Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.}$

С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{\rm {d}}x\;.}$

Используется также другое представление, которое может быть получено из предыдущего заменой x = e^—t:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,{\rm {d}}t\;.}$

Другие формулы

Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению^[2]

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,}$

а также формуле дополнения^[2]

${\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}\;.}$

Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство^[2]:

${\displaystyle \psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi _{1}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\;.}$

Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли:

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.}$

Частные значения

Ниже приведены частные значения тригамма-функции^[1]:

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,}$

где G — постоянная Каталана, а ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}$ — функция Клаузена^?!, связанная с мнимой частью дилогарифма через

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )=\mathrm {Im} \left[\mathrm {Li} _{2}\!\left(e^{\mathrm {i} \theta }\right)\right]\;.}$

Используя формулу кратного аргумента и формулу дополнения, a также связь ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)}$ с функцией Клаузена^[3][4], получаем:

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4-{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4-{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;.}$

Для значений за пределами интервала ${\displaystyle 0<z\leq 1}$ можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше. Например^[1],

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.}$

См. также

• Гамма-функция
• Дигамма-функция
• Полигамма-функция
• Постоянная Каталана
• Дзета-функция Гурвица