Циклотронная масса

Циклотро́нная ма́сса — величина, играющая роль массы электрона или дырки в выражении для циклотронной частоты их периодического движения в постоянном и однородном магнитном поле.

Эффективная и циклотронная массы

В проводниках с анизотропной поверхностью Ферми инерционные характеристики носителей описываются с помощью тензора эффективных масс ${\displaystyle m_{ik}}$ (${\displaystyle i,k=x,y,z}$). Тензор эффективных масс является симметричным тензором второго ранга, компоненты которого могут быть как положительными, так и отрицательными. В общем случае циклотронная масса не совпадает ни с одной из компонент тензора эффективных масс. Циклотронная масса ${\displaystyle m_{c}}$ появляется в теории, как величина входящая в выражение для циклотронной частоты ${\displaystyle {{\omega }_{c}}=\left|e\right|B/{{m}_{c}}}$ движения заряжённой частицы по периодической траектории в однородном магнитном поле ${\displaystyle B}$ (${\displaystyle e}$- заряд частицы). В простейшем случае сферической Ферми поверхности тензор ${\displaystyle m_{ik}}$ диагонален, а все три диагональные компоненты равны ${\displaystyle m_{kk}=m^{*}}$ и совпадают с циклотронной массой ${\displaystyle m^{*}=m_{c}}$. Циклотронную массу измеряют с помощью изучения циклотронного резонанса, циклотронного резонанса Азбеля-Канера, магнитных осцилляционных эффектов (эффект Шубникова — де Гааза, эффект де Гааза — ван Альфена) и других кинетических эффектов и термодинамических характеристик. Знание циклотронной массы позволяет получить важную информацию о форме поверхности Ферми в твёрдом теле^[1][2].

Теория для кремния[3]

Поверхность Ферми кремния, который является непрямозонным полупроводником, состоит из шести эллипсоидов вращения в ${\displaystyle k}$-пространстве. Рассмотрим сечение поверхности Ферми плоскостью ${\displaystyle xz}$ такое, что в этой плоскости будут находиться 4 вытянутых эллипса с центрами расположенными на осях на расстоянии ${\displaystyle k_{0}}$. Пусть вектор магнитного поля ${\displaystyle \mathbf {B} }$ лежит в этой плоскости и образует угол ${\displaystyle \theta }$ с осью ${\displaystyle z}$. Анизотропный закон дисперсии для электронов имеет вид

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{m_{t}}}+{\frac {(k_{z}-k_{0})^{2}}{m_{l}}}\right),}$

где введены две разные эффективные массы ${\displaystyle m_{t}}$, ${\displaystyle m_{l}}$ (диагональные компоненты тензора эффективных масс), называемые соответственно продольной и поперечной эффективными массами. Уравнение движения частицы (второй закон Ньютона) с зарядом «-e» в магнитном поле ${\displaystyle \mathbf {B} }$ в отсутствие затухания

${\displaystyle \hbar {\frac {d\mathbf {k} }{dt}}=-e\mathbf {v} \times \mathbf {B} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {k} }$ — волновой вектор, а скорость частицы ${\displaystyle \mathbf {v} }$ определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}\varepsilon =\left({\frac {\hbar k_{x}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar k_{y}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar (k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\right).}$

Теперь распишем покомпонентно закон движения

${\displaystyle \hbar {\frac {dk_{x}}{dt}}=-{\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\cos {\theta },}$

${\displaystyle \hbar {\frac {dk_{y}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{x}}{m_{t}}}\cos {\theta }-{\frac {e\hbar B(k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\sin {\theta },}$

${\displaystyle \hbar {\frac {dk_{z}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\sin {\theta }.}$

Нас будет интересовать только решения вида

${\displaystyle k_{x}=k_{1}e^{i\omega t},\,k_{y}=k_{2}e^{i\omega t},\,k_{z}=k_{0}+k_{3}e^{i\omega t}.}$

Это решение существует при определённой частоте называемой циклотронной, которая зависит от угла:

${\displaystyle \omega _{c}=eB\left({\frac {\sin ^{2}{\theta }}{m_{l}m_{t}}}+{\frac {\cos ^{2}{\theta }}{m_{t}^{2}}}\right)^{1/2}.}$

Здесь можно определить циклотронную массу как

${\displaystyle m_{c}=\left({\frac {\sin ^{2}{\theta }}{m_{l}m_{t}}}+{\frac {\cos ^{2}{\theta }}{m_{t}^{2}}}\right)^{-1/2}.}$

Видно, что если угол равен нулю, то ${\displaystyle m_{c}=m_{t}}$, а если угол прямой: ${\displaystyle m_{c}={\sqrt {m_{l}m_{t}}}}$.

Общий случай

В общем случае^[4] для произвольной поверхности Ферми, например в металлах поверхность Ферми может принимать сложную форму нужно использовать следующую формулу для циклотронной частоты^[5]

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {2\pi eB}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{(\partial S/\partial \varepsilon _{F})}}}$

и циклотронной массы

${\displaystyle m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}{\frac {\partial S}{\partial \varepsilon }},\qquad (1)}$

где ${\displaystyle S(\varepsilon ,k_{H})}$ — площадь сечения поверхности Ферми плоскостью ${\displaystyle {k_{H}}=const}$, ${\displaystyle k_{H}}$ — проекция волнового вектора электрона на направление магнитного поля, ${\displaystyle \varepsilon }$ — энергия электрона.

Случай параболической зоны

Для простейшей изотропной параболической зоны энергию и площадь можно представить в виде следующих функций от волнового вектора^[5]:

${\displaystyle \varepsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\ }$,

${\displaystyle {S}\left(\varepsilon _{F},{{k}_{H}}\right)=\pi k_{\bot }^{2}=\pi \left({\frac {2{{m}^{*}}\varepsilon _{F}}{{\hbar }^{2}}}-k_{H}^{2}\right)\,,}$

где ${\displaystyle k_{\bot }}$ — величина компоненты волнового вектора, перпендикулярной магнитному полю, ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$ — энергия Ферми. В этом случае производная от энергии по площади будет иметь простейший вид:

${\displaystyle {\frac {\partial {S}}{\partial \varepsilon _{F}}}={\frac {2\pi {{m}^{*}}}{{\hbar }^{2}}}\,.}$

Подставляя полученное значение для производной в формулу для эффективной массы, находим:

${\displaystyle m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {\partial S}{\partial \varepsilon _{F}}}=m^{*}\,.}$

Таким образом, в случае простой изотропной параболической зоны имеется тождественность «циклотронной массы» и «эффективной массы». Данное обстоятельство позволяет в большинстве практических случаев измерять эффективную массу носителей в твёрдом теле.

Циклотронная масса для графена[6][7]

Двухмерный закон дисперсии графена вблизи точек Дирака задается уравнением

${\displaystyle \varepsilon =\pm \hbar v_{F}k\,,}$

где ${\displaystyle \varepsilon }$ — энергия возбуждения, ${\displaystyle v_{F}}$ — скорость Ферми, ${\displaystyle k}$ — абсолютная величина двухмерного волнового вектора.

Рассмотрим легированный графен с плотностью носителей на единицу площади, ${\displaystyle n_{s}}$, при достаточно низкой температуре, такой что электроны образуют вырожденный Ферми-газ. Тогда можно определить поверхность Ферми как 2D линию — круг ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{F}}$. После учёта спинового и долинного вырождения соответствующий волновой вектор Ферми ${\displaystyle k_{F}}$ равен

${\displaystyle {{k}_{F}}={\sqrt {\pi n_{s}}}\,.}$

Для того чтобы определить циклотронную массу в квазиклассическом приближении, используем уравнение (1), в которое следует подставить, ${\displaystyle S(\varepsilon )}$, площадь в k-пространстве, ограниченную орбитой с энергией ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle S\left(\varepsilon \right)=\pi {{k}^{2}}\left(\varepsilon \right)={\frac {\pi {{\varepsilon }^{2}}}{{{\hbar }^{2}}v_{F}^{2}}}\,,}$

откуда находим, циклотронную массу:

${\displaystyle m_{c}={\frac {\hbar {{k}_{F}}}{{v}_{F}}}={\frac {\hbar }{v_{F}}}{\sqrt {\pi n_{s}}}\,.}$

См. также

• Эффективная масса
• Циклотронный резонанс
• Циклотронный резонанс Азбеля — Канера