Эффективная масса

Эффекти́вная ма́сса — величина, имеющая размерность массы и применяемая для удобного описания движения частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы электрона ${\displaystyle m_{0}}$ (9,11×10⁻³¹ кг). Эффективная масса электрона в кристалле (электрон проводимости), вообще говоря, отлична от массы электрона в вакууме и может быть как положительной, так и отрицательной^[1].

Понятие эффективной массы

Изотропный вариант

Если закон дисперсии ${\displaystyle E=E({\vec {k}})}$ электронов в конкретном кристаллическом веществе таков (или с приемлемой точностью может считаться таким), что энергия ${\displaystyle E}$ зависит только от модуля волнового вектора ${\displaystyle k}$, то эффективной массой электрона, по определению, является величина^[2]

${\displaystyle m^{*}=\hbar ^{2}/\left[{{d^{2}E} \over {dk^{2}}}\right]}$,

где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка-Дирака.

Иногда в целях радикального упрощения этим приближением ограничиваются, как если бы изотропная ситуация была единственной возможной.

Физический смысл

Скорость движения электрона в кристалле равна групповой скорости электронных волн и определяется как

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {dE}{dk}}}$.

Здесь ${\displaystyle \omega }$ — частота. Дифференцируя ${\displaystyle v_{g}}$ по времени, определим ускорение электрона:

${\displaystyle a={\frac {dv_{g}}{dt}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}{\frac {dk}{dt}}}$.

Сила, действующая на электрон в кристалле, составляет

${\displaystyle F={\frac {dp}{dt}}=\hbar {\frac {dk}{dt}}}$,

где ${\displaystyle p}$ — импульс. Из двух последних выражений получается

${\displaystyle a={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}F={\frac {F}{m^{*}}}}$,

откуда и виден смысл величины ${\displaystyle m^{*}}$ как некой «массы».

Типичное поведение

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен и, таким образом, эффективная масса является постоянной и равной массе покоя электрона ${\displaystyle m_{0}}$.

В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. Тем не менее, кривая закона дисперсии ${\displaystyle E({\vec {k}})}$ вблизи своих экстремумов часто неплохо аппроксимируется параболой — и тогда эффективная масса ${\displaystyle m^{*}}$ также будет константой, хотя и отличной от ${\displaystyle m_{0}}$. При этом ${\displaystyle m^{*}}$ может оказаться и положительной (вблизи дна зоны проводимости), и отрицательной (вблизи потолка валентной зоны).

Далеко от экстремумов эффективная масса, как правило, сильно зависит от энергии ${\displaystyle E}$ (формулировка «зависит от энергии» уместна только для изотропного случая), и тогда оперирование ею перестаёт приносить какие-либо удобства.

Анизотропия массы

В общем случае эффективная масса зависит от направления в кристалле и является тензором. Принято говорить о тензоре обратной эффективной массы, его компоненты находятся из закона дисперсии^[3][4] ${\displaystyle E=E({\vec {k}})}$:

${\displaystyle \left({\frac {1}{m^{*}}}\right)_{i,j}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$,

где ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — волновой вектор с проекциями ${\displaystyle k_{x}}$, ${\displaystyle k_{y}}$, ${\displaystyle k_{z}}$ на оси декартовой системы координат. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется как квазичастица, параметры движения которой зависят от направления относительно кристаллографических осей кристалла. При этом значения ${\displaystyle (1/m^{*})_{i,j}}$ зависят не от энергии, а от состояния, задаваемого вектором ${\displaystyle {\vec {k}}}$.

Есть и другие подходы для вычисления эффективной массы электрона в кристалле^[5].

Как и в изотропном приближении, использование тензора обратной эффективной массы в основном ограничено областями вблизи экстремумов функции ${\displaystyle E({\vec {k}})}$. Вне этих областей — как, например, в случае анализа поведения популяции горячих электронов — рассматриваются непосредственно зависимости ${\displaystyle E({\vec {k}})}$, которые табулируются.

Величина для некоторых полупроводников

Характерные значения эффективной массы составляют от долей до единиц ${\displaystyle m_{0}}$, чаще всего около ${\displaystyle 0.5m_{0}}$.

В таблице указаны^[6][7] продольная (${\displaystyle m_{l}}$) и поперечная (${\displaystyle m_{t}}$) эффективные массы, а также ^[8]эффективная масса проводимости (${\displaystyle m_{\sigma n}}$), плотности состояний (${\displaystyle m_{dn}}$), электронов (${\displaystyle m_{e}^{*}}$) и дырок (${\displaystyle m_{h}^{*}}$) для важнейших полупроводников — простых веществ IV группы и бинарных соединений A^IIIB^V и A^IIB^VI. Все значения представлены в единицах массы свободного электрона ${\displaystyle m_{0}}$.

Эффективная масса электрона (${\displaystyle m_{e}^{*}}$) определяется как среднее значение продольной (${\displaystyle m_{l}}$) и поперечной (${\displaystyle m_{t}}$) эффективных масс: ${\displaystyle m_{e}^{*}=(m_{l}*m_{t}^{2})^{1/3}}$.

Эффективная масса проводимости (${\displaystyle m_{\sigma n}}$) используется для оценки подвижности электронов и проводимости и рассчитывается по формуле ${\displaystyle {1 \over m_{\sigma n}}={1 \over 3}[{1 \over m_{l}}+{2 \over m_{t}}]}$.

Эффективная масса плотности состояний (${\displaystyle m_{dn}}$) учитывает плотность квантовых состояний в зоне проводимости: ${\displaystyle m_{dn}=(M^{2}*m_{l}*m_{t})^{1/3}}$. Она особенно важна для расчета концентраци носителей заряда.

Эффективная масса

Материал	${\displaystyle m_{l}}$	${\displaystyle m_{t}}$	${\displaystyle m_{\sigma n}}$	${\displaystyle m_{dn}}$	${\displaystyle m_{e}^{*}}$	${\displaystyle m_{h}^{*}}$
Группа IV
Si	0,98	0,19	0,26	1,08	0,33	0,49
Ge	1,64	0,082	0,33	0,55	0,22	0,28
AIIIBV
GaAs	0,067		0,067	0,1	0,067	0,082
InSb	0,0145		0,0145	0,015	0,0145	0,4
AIIBVI
ZnSe	0,16	0,4	0,2	0,45	0,29	0,45
ZnO	0,27	0,27	0,27	0,4	0,27	0,4

На этом сайте приводится температурная зависимость эффективной массы для кремния.

Экспериментальное определение

Традиционно эффективные массы носителей измерялись методом циклотронного резонанса, в котором измеряется поглощение полупроводника в микроволновом диапазоне спектра в зависимости от индукции магнитного поля ${\displaystyle B}$. Когда микроволновая частота равняется циклотронной частоте ${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{m_{c}}},}$ в спектре наблюдается острый пик (${\displaystyle m_{c}}$ - циклотронная масса). В случае квадратичного изотропного закона дисперсии носителей заряда ${\displaystyle E({\vec {k}})=\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}}$ эффективная и циклотронная массы совпадают, ${\displaystyle m_{c}=m^{*}}$. В последние годы эффективные массы обычно определялись из измерения зонной структуры с использованием таких методов, как фотоэмиссия с угловым разрешением (ARPES), или более прямым методом, основанным на эффекте де Гааза — ван Альфена.

Эффективные массы могут также быть оценены при использовании коэффициента γ из линейного слагаемого низкотемпературного электронного вклада в теплоёмкость при постоянном объёме ${\displaystyle c_{v}.}$ Теплоёмкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на уровне Ферми.

Значимость эффективной массы

Как показывает таблица, полупроводниковые соединения A^IIIB^V, такие, как GaAs и InSb, имеют намного меньшие эффективные массы, чем полупроводники из четвёртой группы периодической системы — кремний и германий. В самой простой теории электронного транспорта Друде дрейфовая скорость носителей обратно пропорциональна эффективной массе: ${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{Vmatrix}\mu \end{Vmatrix}}\cdot {\vec {E}},}$ где ${\displaystyle {\begin{Vmatrix}\mu \end{Vmatrix}}={\frac {e\tau }{\begin{Vmatrix}m^{*}\end{Vmatrix}}}}$, ${\displaystyle \tau }$ — время релаксации по импульсам и ${\displaystyle e}$ — заряд электрона. Быстродействие интегральных микросхем зависит от скорости носителей, и, таким образом, малая эффективная масса — одна из причин того, что GaAs и другие полупроводники группы A^IIIB^V используются вместо кремния в приложениях, где требуется широкая полоса пропускания.

В случае переноса электронов и дырок через тонкий полупроводниковый или диэлектрический слой посредством туннельного эффекта эффективная масса в этом слое влияет на коэффициент прохождения (уменьшение массы влечёт увеличение коэффициента прохождения) и, следовательно, на ток.

Эффективная масса плотности состояний

Поведение плотности состояний электронов и дырок вблизи краёв зон аппроксимируется формулами

${\displaystyle \rho _{e}(E)=4\pi \left({\frac {2m_{dc}}{h^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{c}}},\qquad \rho _{h}(E)=4\pi \left({\frac {2m_{dv}}{h^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E_{v}-E}}}$,

где ${\displaystyle E_{v}}$ и ${\displaystyle E_{c}}$ — энергии краёв валентной зоны и зоны проводимости, соответственно, ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка. Входящие сюда величины ${\displaystyle m_{dv}}$, ${\displaystyle m_{dc}}$ носят название эффективных масс плотности состояний. Для изотропного параболического закона дисперсии они совпадают с эффективными массами ${\displaystyle m^{*}}$ (раздельно для электронов и дырок), а в более сложных анизотропных случаях находятся численно, с усреднением по направлениям.

Обобщения

Понятие эффективной массы в физике твёрдого тела используется не только применительно к электронам и дыркам^[3]. Оно обобщается на другие квазичастицы (типы возбуждений), такие как фононы, фотоны или экситоны, с теми же формулами для расчёта (только подставляются законы дисперсии, соответственно, для фононов и так далее). Тем не менее, основным применением термина всё же является именно кинетика электронов и дырок в кристаллах.

Ссылки

• NSM archive
• Pastori Parravicini, G. Electronic States and Optical Transitions in Solids (англ.). — Pergamon Press^[англ.], 1975. Книга содержит исчерпывающее, но доступное обсуждение темы с обширным сравнением между теорией и экспериментом.