P-адическое число

${\displaystyle p}$-адическое число^[1] — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа ${\displaystyle p}$ как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно ${\displaystyle p}$-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на ${\displaystyle p}$.

${\displaystyle p}$-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году^[2].

Поле ${\displaystyle p}$-адических чисел обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ или ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$.

Алгебраическое построение

Целые p-адические числа

Стандартное определение

Целым ${\displaystyle p}$-адическим числом для заданного простого ${\displaystyle p}$ называется^[3] бесконечная последовательность ${\displaystyle x=\{x_{1},x_{2},\ldots \}}$ вычетов ${\displaystyle x_{n}}$ по модулю ${\displaystyle p^{n}}$, удовлетворяющих условию:

${\displaystyle x_{n}\equiv x_{n+1}{\pmod {p^{n}}}}$.

Сложение и умножение целых ${\displaystyle p}$-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых ${\displaystyle p}$-адических чисел обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

Определение через проективный предел

В терминах проективных пределов кольцо целых ${\displaystyle p}$-адических чисел определяется как предел:

${\displaystyle \lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z} }$

колец ${\displaystyle \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z} }$ вычетов по модулю ${\displaystyle p^{n}}$ относительно естественных проекций ${\displaystyle \mathbb {Z} /{p^{n+1}}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z} }$.

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа ${\displaystyle p}$, но и любого составного числа ${\displaystyle m}$ — получится кольцо ${\displaystyle m}$-адических чисел, но это кольцо в отличие от ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения к нему неприменимы.

Свойства

Обычные целые числа вкладываются в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ очевидным образом: ${\displaystyle x=\{x,x,\ldots \}}$ и являются подкольцом.

Пример выполнения арифметических операций над 5-адическими числами.

Беря в качестве элемента класса вычетов число ${\displaystyle a_{n}=x_{n}\,{\bmod {\,}}{p^{n}}}$ (таким образом, ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}<p^{n}}$), можно записать каждое целое ${\displaystyle p}$-адическое число в виде ${\displaystyle x=\{a_{1},a_{2},\ldots \}}$ однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое ${\displaystyle a_{n}}$ в ${\displaystyle p}$-ичной системе счисления ${\displaystyle a_{n}=b_{n}\ldots b_{2}b_{1}}$ и, учитывая, что ${\displaystyle a_{n}\equiv a_{n+1}{\pmod {p^{n}}}}$, возможно всякое ${\displaystyle p}$-адическое число в каноническом виде представить в виде ${\displaystyle x=\{b_{1},b_{2}b_{1},b_{3}b_{2}b_{1},\ldots \}}$ или записать в виде бесконечной последовательности цифр в ${\displaystyle p}$-ичной системе счисления ${\displaystyle x=\{\ldots b_{n}\ldots b_{2}b_{1}\}}$. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в ${\displaystyle p}$-ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют ${\displaystyle p}$-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют ${\displaystyle p}$-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

p-адические числа

${\displaystyle p}$-адическим числом называется элемент поля частных ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ целых ${\displaystyle p}$-адических чисел. Это поле называется полем ${\displaystyle p}$-адических чисел.

Поле ${\displaystyle p}$-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

Пример выполнения деления 5-адических чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое ${\displaystyle p}$-адическое число, не кратное ${\displaystyle p}$, обратимо в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, а кратное ${\displaystyle p}$ однозначно записывается в виде ${\displaystyle xp^{n}}$, где ${\displaystyle x}$ не кратно ${\displaystyle p}$ и поэтому обратимо, а ${\displaystyle n>0}$. Поэтому любой ненулевой элемент поля ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ может быть записан в виде ${\displaystyle xp^{n}}$, где ${\displaystyle x}$ не кратно ${\displaystyle p}$, а ${\displaystyle n}$ любое; если ${\displaystyle n}$ отрицательно, то, исходя из представления целых ${\displaystyle p}$-адических чисел в виде последовательности цифр в ${\displaystyle p}$-ичной системе счисления, мы можем записать такое ${\displaystyle p}$-адическое число в виде последовательности ${\displaystyle x=\{\ldots b_{k}\ldots b_{2}b_{1},b_{0}b_{-1}\ldots b_{n+1}\}}$, то есть, формально представить в виде ${\displaystyle p}$-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построение

Любое рациональное число ${\displaystyle r}$ можно представить как:

${\displaystyle r=p^{n}{\frac {a}{b}}}$,

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — целые числа, не делящиеся на ${\displaystyle p}$, а ${\displaystyle n}$ — целое. Тогда ${\displaystyle |r|_{p}}$ — ${\displaystyle p}$-адическая норма ${\displaystyle r}$ — определяется как ${\displaystyle p^{-n}}$. Если ${\displaystyle r=0}$, то ${\displaystyle |r|_{p}=0}$.

Поле ${\displaystyle p}$-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой ${\displaystyle d_{p}}$, определённой ${\displaystyle p}$-адической нормой: ${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}$. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма ${\displaystyle |r|_{p}}$ продолжается по непрерывности до нормы на ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.

Свойства

Каждый элемент ${\displaystyle x}$ поля ${\displaystyle p}$-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда:

${\displaystyle x=\sum _{i=n_{0}}^{\infty }a_{i}p^{i}}$,

где ${\displaystyle n_{0}}$ — некоторое целое число, а ${\displaystyle a_{i}}$ — целые неотрицательные числа, не превосходящие ${\displaystyle p-1}$. А именно, в качестве ${\displaystyle a_{i}}$ здесь выступают цифры из записи ${\displaystyle x}$ в системе счисления с основанием ${\displaystyle p}$. Такая сумма всегда сходится в метрике ${\displaystyle d_{p}}$ к самому ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle p}$-адическая норма ${\displaystyle |x|_{p}}$ удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

${\displaystyle |x-z|_{p}\leqslant \max \left\{|x-y|_{p},|y-z|_{p}\right\}}$.

Числа ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}}$ с условием ${\displaystyle |x|_{p}\leqslant 1}$ образуют кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ целых ${\displaystyle p}$-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }$ в норме ${\displaystyle |x|_{p}}$. Числа ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}}$ с условием ${\displaystyle |x|_{p}=1}$ образуют мультипликативную группу и называются ${\displaystyle p}$-адическими единицами. Совокупность чисел ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}}$ с условием ${\displaystyle |x|_{p}<1}$ является главным идеалом в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ с образующим элементом ${\displaystyle p}$.

Метрическое пространство ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p},d_{p})}$ гомеоморфно канторову множеству, а пространство ${\displaystyle (\mathbb {Q} _{p},d_{p})}$ гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.

Для различных ${\displaystyle p}$ нормы ${\displaystyle |x|_{p}}$ независимы, а поля ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ неизоморфны.

Для любых элементов ${\displaystyle r_{\infty }}$, ${\displaystyle r_{2}}$, ${\displaystyle r_{3}}$, ${\displaystyle r_{5}}$, ${\displaystyle r_{7}}$, … таких, что ${\displaystyle r_{\infty }\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle r_{p}\in \mathbb {Q} _{p}}$, можно найти последовательность рациональных чисел ${\displaystyle x_{n}}$ таких, что для любого ${\displaystyle p}$ выполнено ${\displaystyle |x_{i}-r_{p}|_{p}\to 0}$ и ${\displaystyle |x_{i}-r_{\infty }|\to 0}$.

Применения

Если ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех ${\displaystyle k}$ сравнения:

${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}$

эквивалентна разрешимости уравнения:

${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0}$

в целых ${\displaystyle p}$-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях ${\displaystyle p}$-адических чисел при всех ${\displaystyle p}$, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным. На практике для проверки разрешимости уравнения в целых ${\displaystyle p}$-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определённого конечного числа значений ${\displaystyle k}$. Например, согласно лемме Гензеля, при ${\displaystyle n=1}$ достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных ${\displaystyle k}$ служит наличие простого решения у сравнения по модулю ${\displaystyle p}$ (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю ${\displaystyle p}$). Иначе говоря, при ${\displaystyle n=1}$ для проверки наличия корня у уравнения в целых ${\displaystyle p}$-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при ${\displaystyle k=1}$.

${\displaystyle p}$-адические числа находят широкое применение в теоретической физике^[4]. Известны ${\displaystyle p}$-адические обобщённые функции^[5], ${\displaystyle p}$-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова)^[6], ${\displaystyle p}$-адическая квантовая механика^[7][8], ${\displaystyle p}$-адическая спектральная теория^[9], ${\displaystyle p}$-адическая теория струн^[10][11]