Прямое алгебраическое дополнение

Не следует путать с алгебраическим дополнением элемента матрицы.

Прямо́е алгебраи́ческое дополне́ние подпространства векторного пространства — любое подпространство векторного пространства такое, что его прямая алгебраическая сумма с исходным подпространством есть всё векторное пространство➤^[1][2].

Формально определение прямого алгебраического дополнения можно записать следующим образом. Рассмотрим векторное, оно же линейное, пространство ${\displaystyle E}$ и его векторное подпространство ${\displaystyle M\subset E}$. Тогда любое векторное подпространство ${\displaystyle N}$ называется прямым алгебраическим дополнением подпространства ${\displaystyle M\subset E}$, если любой вектор ${\displaystyle x\in E}$ однозначно разлагается на следующую сумму^[2][1]:

${\displaystyle x=y+z}$, ${\displaystyle \quad y\in M}$, ${\displaystyle \quad z\in N}$.

Условия этого определения эквивалентно следующим равенствам^[2]:

${\displaystyle E=M+N}$, ${\displaystyle \quad M\cap N=\{0\}}$.

Прямое алгебраическое дополнение существует в любом случае. Для его построения выбирается произвольный базис ${\displaystyle A}$ подпространства ${\displaystyle M}$ и затем он любым способом расширяется до базиса ${\displaystyle B}$ пространства ${\displaystyle E}$, в итоге получается, что базис ${\displaystyle B\setminus A}$ порождает векторное подпространство, которое служит алгебраическим дополнением подпространства ${\displaystyle M\subset E}$^[1].

Особенно часто используется частный случай прямого алгебраического дополнения — ортогональное дополнение подпространства, когда оба подпространства взаимно ортогональны^[3][4][5].

Обобщение прямого алгебраического дополнения — прямое топологическое дополнение^[6].

Важны два простейших случая прямого алгебраического дополнения на плоскости и в трёхмерном пространстве^[7][8].

Пересекающиеся прямые на плоскости суть алгебраические дополнения друг друга

Рассмотрим две непараллельные прямые (в смысле пересекающиеся в одной точке^[9]) ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$ на плоскости^[7][8].

Тогда имеет место «теорема о векторной проекции»^[10][11]:

задание на плоскости любого базиса ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\in l}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\in m}$ дает возможность поставить в соответствие любому вектору ${\displaystyle \mathbf {a} }$ плоскости пару векторов

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{2}}} }}\mathbf {a} \,\,}$ и ${\displaystyle \,\,{\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a} }$,

которые суть проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на направление одного из векторов базиса по направлению другого вектора, причём их сумма равна вектору ${\displaystyle \mathbf {a} }$:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{2}}} }}\mathbf {a} +{\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a} }$, ${\displaystyle \quad {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{2}}} }}\mathbf {a} \in l}$, ${\displaystyle \quad {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a} \in m}$.

Пересекающиеся прямая и плоскость в трёхмерном пространстве суть алгебраические дополнения друг друга

Рассмотрим плоскость и не параллельную ей прямую (в смысле пересекающиеся в одной точке^[9]) ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle l}$ в трёхмерном пространстве^[12][13].

Пусть ${\displaystyle a^{1}}$, ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle a^{3}}$ — координаты вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ в базисе ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$, ${\displaystyle e_{3}}$, то есть

${\displaystyle \mathbf {a} =a^{1}e_{1}+a^{2}e_{2}+a^{3}e_{3}}$,

тогда верны следующие формулы^[14]:

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1}}^{e_{1},\,e_{2}}} }}\mathbf {a} =a^{1}e_{1}}$, ${\displaystyle \quad {\overrightarrow {\operatorname {pr_{e_{1},\,e_{2}}^{e_{1}}} }}\mathbf {a} =a^{2}e_{2}+a^{3}e_{3}}$.