Elipsa

Za druge pomene glej Elipsa (razločitev).

Elípsa ali pákróg je v matematiki sklenjena ravninska krivulja ovalne oblike, pri kateri je vsota razdalj katerekoli točke od gorišč F₁ in F₂ stalna. Elipsa je ena od stožnic.

Elipsa

Slika

Na sliki so:

• a velika polos,
• b mala polos,
• AB velika os (${\displaystyle {\overline {AB}}=2a}$),
• CD mala os (${\displaystyle {\overline {CD}}=2b}$),
• točke A, B, C in D so temena elipse in
• F₁ ter F₂ pa gorišči elipse.

Gorišči sta od središča o oddaljeni za ${\displaystyle c=e\cdot a={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$. Če z r₁ in r₂ označimo razdalji od gorišč F₁ in F₂ do točke X na elipsi (modri črti) sta njuni dolžini ${\displaystyle r_{1}=a-ex}$ in ${\displaystyle r_{2}=a+ex}$, tako da velja ${\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}$

Parametrizacija

Če koordinatni osi sovpadata z osema elipse, je kanonična oblika enačba elipse:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

parametrična oblika enačbe elipse pa je

${\displaystyle x=a\,\cos t}$

${\displaystyle y=b\,\sin t}$

${\displaystyle 0\leq t<2\pi }$

Izsrednost (ekscentričnost)

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$

Polarne koordinate

${\displaystyle r(1+e\cos \theta )=l\,}$, kjer je ${\displaystyle l={\frac {b^{2}}{a}}}$.

Ploščina

${\displaystyle S=\pi ab\,\!.}$

Obseg

${\displaystyle o=4aE(e)=2\pi a\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots \right]\,\!,}$

kjer je E(e) popolni eliptični integral druge vrste.

Ramanudžanov približek iz leta 1914:

${\displaystyle o\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\,\!.}$

Še en približek:

${\displaystyle o\approx \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}\,\!}$

Kvadratna forma

Če elipsa ni v središčni legi in je zavrtena, jo zapišemo s kvadratno formo:

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\,\!.}$

Če forma nima člena z ${\displaystyle xy}$, torej ${\displaystyle b=0}$, elipsa ni zavrtena:

${\displaystyle ax^{2}+cy^{2}+dx+ey+f=0\,\!.}$

Če forma nima člena z ${\displaystyle x}$, torej ${\displaystyle d=0}$, elipsa ni premaknjena v smeri osi x:

${\displaystyle ax^{2}+cy^{2}+ey+f=0\,\!.}$

Če forma nima člena z ${\displaystyle y}$, torej ${\displaystyle e=0}$, elipsa ni premaknjena v smeri osi y:

${\displaystyle ax^{2}+cy^{2}+f=0\,\!.}$

Iz te forme se izpelje zgornja kanonična oblika.

Identifikacija

Če določena kvadratna forma predstavlja elipso, preverimo tako, da koeficiente forme vstavimo v matriki:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{bmatrix}}}$

in

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$

Forma predstavlja elipso natanko takrat, ko velja: ${\displaystyle |A|\neq 0,\quad |B|>0,\quad {\frac {|A|}{a+c}}<0}$

pri čemer je ${\displaystyle |A|=acf+2bde-fb^{2}-cd^{2}-ae^{2}}$ in ${\displaystyle |B|=ac-b^{2}}$

Središče elipse

Središče elipse je rešitev sistema enačb:

${\displaystyle 2ax+2by+d=0\,\!,}$

${\displaystyle 2bx+2cy+e=0\,\!,}$

z rešitvijo

${\displaystyle x={\frac {-dc}{2b^{2}+2ac-be}}\,\!}$

${\displaystyle y=-{\frac {e+2bx}{2c}}\,\!.}$

Kot vrtenja

Kot, za katerega je elipsa s poljubnim središčem zavrtena, je

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}\mathrm {ctg} ^{-1}\left({\frac {c-a}{2b}}\right)}$. Če je ${\displaystyle b=0}$ je ${\displaystyle \varphi =0^{\circ }}$

Glej tudi

• elipsoid (trorazsežni analogon elipse)
• sferoid (elipsoid, nastal kot vrtenina)
• sploščen sferoid
• superelipsa (posplošitev elipse, katere oblika je bolj podobna kvadratu)
• hiperbola
• parabola