Superelipsa

Superelipsa (tudi Laméjeva krivulja) je ravninska družina krivulj, ki imajo v kartezičnem koordinatnem sistemu enačbo:

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1\!\,,}$

Superelipsa z n = 1/2, a = b = 1

Superelipsa z n = 3/2, a = b = 1

Krožno zaobljeni kvadrat je superelipsa z n = 4, a = b = 1

kjer so:

• ${\displaystyle n,{\text{ }}a,{\text{ }}b}$ pozitivna števila

Zgornji obrazec določa zaprto krivuljo v pravokotniku v mejah ${\displaystyle -a\leq x\leq +a}$ in ${\displaystyle -b\leq x\leq +b}$. Parametra ${\displaystyle a\,}$ in ${\displaystyle b\,}$ se imenujeta polosi krivulje.

V parametrična oblika je:^[1]

${\displaystyle x=\cos ^{2/m}t\!\,}$

${\displaystyle y=\sin ^{2/m}t\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle r>2}$.

Oblika krivulje je odvisna od parametra ${\displaystyle n\,}$:

• če je ${\displaystyle n\,}$ med 0 in 1, superelipsa izgleda kot štirikraka zvezda, ki ima vbočene stranice.
• če je ${\displaystyle n=1/2\,}$ so stranice parabole
• če je ${\displaystyle n=1}$ ima superelipsa obliko romba z oglišči v točkah (±a, 0) in (0, ±b)
• če je ${\displaystyle n\,}$ med 1 in 2 izgleda kot romb, ki ima izbočene stranice
• če je ${\displaystyle n=2\,}$ je krivulja običajna elipsa oziroma krožnica, če je ${\displaystyle a=b\,}$
• če je ${\displaystyle n>2\,}$ izgleda kot pravokotnik z zaobljenimi vogali
• če je ${\displaystyle n<2\,}$ krivuljo imenujemo hipoelipsa
• če je ${\displaystyle n>2\,}$ krivuljo imenujemo hiperelipsa
• točke ekstrema so v točkah ${\displaystyle (\pm a,{\text{ }}0}$ in ${\displaystyle (0,{\text{ }}\pm b}$).

Animacija (klikni na sliko)

Posplošitve

Zgled posplošene superelipse z m ≠ n.

Superelipso lahko opišemo s splošno obliko:

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0\!\,.}$

ali z:

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}\!\,.}$

Povezave z drugimi krivuljami

• astroida je superelipsa z ${\displaystyle n=2/3}$ in ${\displaystyle a=b}$
• astroida je hipocikloida s štirimi vrhovi
  • deltoida je hipocikloida s tremi vrhovi
• krožno zaobljeni kvadrat (štiristrano kolo) je superelipsa z ${\displaystyle n=4}$
  • Reulauxov trikotnik (tristrano kolo)
• superoblika je posplošitev superelipse
• superkvadrik je trirazsežna oblika superelipse.

Ploščina omejena s superelipso

Ploščina, ki jo omejuje superelipsa, je:

${\displaystyle \mathrm {P} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle \Gamma (x)}$ funkcija gama.

Zgodovina

Superelipso je prvi opisal francoski matematik Gabriel Lamé (1795 – 1870).

Glej tudi

• Laméjeva ploskev