Elipsi

Në matematikë, një elips është një kurbë e rrafshët që rrethon dy pika vatrore, i tillë që për të gjitha pikat në kurbë, shuma e dy distancave me pikat vatrore është një konstante. Elipsi është përgjithësimi i një rrethi, i cili është lloj i veçantë i elipsit në të cilin dy vatrat janë të njëjta. Zgjatja e një elipsi matet me jashtëqendërsinë ${\displaystyle e}$, një numër që varion nga ${\displaystyle e=0}$ ( rasti kufizues i një rrethi) në ${\displaystyle e=1}$ (rasti kufizues i zgjatjes së pafundme, jo më një elips, por një parabolë ).

Një elips (e kuqe) i marrë si kryqëzim i një koni me një plan të pjerrët.

Elipsi: shënimevertex - kulmi , focus - vatra, center - qendra,semi-minor axis - gjysëmboshti i vogël, semi-major axis - gjysëmboshti i madh

Elipsat: shembuj me jashtëqendërsi në rritje

Një elips ka një zgjidhje të thjeshtë algjebrike për sipërfaqjen e tij dhe një pjese të tij, por vetëm përafërsi për perimetrin e tij, për të cilin kërkohet integrim numerik për të marrë një zgjidhje të saktë.

Në mënyrë analitike, ekuacioni i një elipsi standard të përqendruar në origjinë me gjerësi ${\displaystyle 2a}$ dhe lartësi ${\displaystyle 2b}$ është:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Duke supozuar ${\displaystyle a\geq b}$, vatrat janë ${\displaystyle (\pm c,0)}$ për ${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ . Ekuacioni standard parametrik është:

${\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\quad {\text{për}}\quad 0\leq t\leq 2\pi .}$

Elipsi është lloji i mbyllur i prerjeve konike : një kurbë e rrafshit që gjurmon prerjen e një koni me një plan (shih figurën). Elipsat kanë shumë ngjashmëri me dy format e tjera të seksioneve konike, parabolat dhe hiperbolat, të cilat të dyja janë të hapura dhe të pakufizuara . Një prerje e tërthortë i pjerrët i një cilindri është gjithashtu një elips.

Elipsat janë të zakonshme në fizikë, astronomi dhe inxhinieri . Për shembull, orbita e secilit planet në Sistemin Diellor është përafërsisht një elips me Diellin në një pikë vatrore. E njëjta gjë vlen dhe për hënat që rrotullohen rreth planeteve dhe të gjitha sistemet e tjera të dy trupave astronomikë. Format e planetëve dhe yjeve shpesh përshkruhen mirë nga elipsoidët . Një rreth i parë nga një kënd anësor duket si një elips.

Emri, ἔλλειψις (élleipsis, "heqje") , u dha nga Apollonius i Pergës në veprën e tij Koniket.

Përkufizimi si një lokus pikash

Elipsi: përcaktimi nga shuma e distancave vatrore

Elipsi: përcaktimi nga fokusi dhe vija drejtuese rrethore

Një elips mund të përkufizohet gjeometrikisht si një grup ose vendndodhje pikash në rrafshin Euklidian:

Jepen dy pika fikse ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ të quajtura vatra dhe një distancë ${\displaystyle 2a}$ e cila është më e madhe se largësia ndërmjet vatrave, elipsa është bashkësia e pikave ${\displaystyle P}$ të tillë që shuma e largësive ${\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|}$ është e barabartë me ${\displaystyle 2a}$ : ${\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,|PF_{2}|+|PF_{1}|=2a\right\}\ .}$

Pika e mesit ${\displaystyle C}$ e segmentit që bashkon vatra quhet qendra e elipsit. Vija që kalon nëpër vatra quhet boshti kryesor, dhe vija pingul me të përmes qendrës është boshti i vogël . Boshti kryesor takon elipsin në dy kulme ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$, të cilët kanë distancë ${\displaystyle a}$ në qendër. Distanca ${\displaystyle c}$ e vatrave në qendër quhet distanca vatrore ose jashtëqendërsi lineare. Herësi ${\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}}$ është jashtëqendërsia .

Rasti ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$ jep një rreth dhe përfshihet si një lloj i veçantë elipsi.

Në koordinatat karteziane

Parametrat e formës:a: gjysëmboshti i madhb: gjysëmboshti i vogël c: jashtëqendërsia linearep: parametër

Ekuacioni standard

Forma standarde e një elipsi në koordinata karteziane supozon se origjina është qendra e elipsit, boshti x është boshti kryesor dhe:

vatrat janë pikat ${\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)}$ ,

kulmet janë ${\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)}$ .

Për një pikë arbitrare ${\displaystyle (x,y)}$ largësia nga vatra ${\displaystyle F_{1}}$ është ${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ dhe nga vatra ${\displaystyle F_{2}}$ ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ . Prandaj pika ${\displaystyle (x,\,y)}$ është në vijë për:

${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$

Duke përdorur ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$ marrim ekuacionin standard i cili jepet nga formula:

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$

Një drejtëz e çfarëdoshme ${\displaystyle g}$ e pret një elipsë në 0, 1 ose 2 pika, përkatësisht të quajtura vijë e jashtme, tangjente dhe sekante . Përmes çdo pike të një elipsi ka një tangjente unike. Tangjentja në një pikë ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ të elipsit ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ka ekuacionin e koordinatave:

Akset kryesore

Jashtëqendërsia lineare

Kjo është largësia nga qendra në një fokus: ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ .

Tangjentja

Një vijë e çfarëdoshme ${\displaystyle g}$ e pret një elipsë në 0, 1 ose 2 pika, përkatësisht të quajtura vijë e jashtme, tangjente dhe sekante . Përmes çdo pike të një elipsi ka një tangjente unike. Tangjentja në një pikë ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ të elipsit ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ka ekuacionin e koordinatave:Stampa:NumBlk${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

${\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \ .}$

Duke përdorur funksionet trigonometrike, një paraqitje parametrike e elipsit standard ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ është:

${\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}$

Elipsi i zhvendosur

Nëse elipsi standard zhvendoset në qendër ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$, ekuacioni i tij është:

${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$

Paraqitja parametrike

Ndërtimi i pikave bazuar në ekuacionin parametrik dhe interpretimi i parametrit t

Paraqitja standarde parametrike

Duke përdorur funksionet trigonometrike, një paraqitje parametrike e elipsit standard ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ është:

${\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \ .}$

Parametri t (i quajtur anomali jashtëqendërsie në astronomi) nuk është këndi i ${\displaystyle (x(t),y(t))}$ me boshtin oX, por ka një kuptim gjeometrik të dhënë nga Philippe de La Hire (shih Vizatimi i elipseve më poshtë). ^[1]

Forma polare

Koordinatat polare të përqendruara në qendër.

Në koordinatat polare, me origjinë në qendrën e elipsit dhe me koordinatë këndore ${\displaystyle \theta }$ e matur nga boshti kryesor, ekuacioni i elipsit është ^{[2] :p. 75}

${\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}$

Veti të matjes

Të gjitha vetitë metrike të dhëna më poshtë i referohen një elipsi me ekuacion

Sipërfaqja

Sipërfaqja ${\displaystyle S_{\text{elips}}}$ e mbyllur nga një elips është:Stampa:NumBlk${\displaystyle S_{elips}=\pi ab}$

ku ${\displaystyle a}$ dhe ${\displaystyle b}$ janë përkatësisht gjatësitë e gjysëmboshtit të madh dhe gjysëmboshtit të vogël. Formula e sipërfaqes ${\displaystyle \pi ab}$ është intuitive: filloni me një rreth me rreze ${\displaystyle b}$ (kështu është sipërfaqja e saj ${\displaystyle \pi b^{2}}$ ) dhe e shtrini atë me një faktor ${\displaystyle a/b}$ për të bërë një elips. Kjo shkallëzon zonën me të njëjtin faktor: ${\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab.}$ ^[3] Megjithatë, përdorimi i së njëjtës qasje për perimetrin do të ishte i gabuar - krahasoni integralet ${\textstyle \int f(x)\,dx}$ dhe ${\textstyle \int {\sqrt {1+f'^{2}(x)}}\,dx}$ . Është gjithashtu e lehtë të vërtetohet me rigorozitet formula e zonës duke përdorur integrimin.

${\displaystyle S_{\text{elips}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}$

Integrali i dytë është zona e një rrethi me rreze ${\displaystyle a,}$ kjo eshte, ${\displaystyle \pi a^{2}.}$ Kështu që

Zona e mbyllur nga një elips i anuar është ${\displaystyle \pi \;y_{\text{int}}\,x_{\text{max}}}$ .

Deri më tani kemi trajtuar elipsë të ngritur, boshtet kryesore dhe të vogla të të cilëve janë paralele me ${\displaystyle x}$ dhe ${\displaystyle y}$ sëpata. Megjithatë, disa zbatime kërkojnë elipsë të pjerrët. Në optikën e rrezeve me grimca të ngarkuara, për shembull, zona e mbyllur e një elipsi të ngritur ose të pjerrët është një veti e rëndësishme e rrezes, emetimi i saj. Në këtë rast ende zbatohet një formulë e thjeshtë, domethënë

${\displaystyle S_{elips}=\pi \;y_{int}\;x_{max}=\pi \;x_{int}\;y_{max}}$

ku ${\displaystyle y_{\text{int}}}$, ${\displaystyle x_{\text{int}}}$ janë përgjimet dhe ${\displaystyle x_{\text{max}}}$, ${\displaystyle y_{\text{max}}}$ janë vlerat maksimale. Ky përfundim rrjedh drejtpërdrejt nga teorema e Apollonit .

Perimetri

Elipsë me perimetër të njëjtë

Perimetri ${\displaystyle C}$ i një elipsi është:

${\displaystyle C=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}sin^{2}\theta }}d\theta =4aE(e)}$

Ky integral është eliptik i llojit të dytë dhe përgjithësisht nuk paraqitet me anë të funksioneve elementare.

Srinivasa Ramanujan dha dy përafrime të afërta për perimetrin në §16 të "Ekuacionet modulare dhe përafrimet në ${\displaystyle \pi }$ "; ^[4] ata janë:

${\displaystyle C\approx \pi [3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}]}$

Gjatësia e harkut

Në përgjithësi, gjatësia e harkut të një pjese të perimetrit, si funksion i këndit të tendosur (ose abshisat e çdo dy pikave në gjysmën e sipërme të elipsit), jepen nga një integral eliptik jo i plotë. Gjysma e sipërme e një elipsi parametrizohet nga

${\displaystyle y=b\ {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\ }}~.}$

Pastaj gjatësia e harkut ${\displaystyle s}$ nga ${\displaystyle x_{1}}$ te ${\displaystyle x_{2}}$ është:

${\displaystyle s=-b\int _{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {\ 1+\left({\tfrac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\ \sin ^{2}z~}}\;\mathrm {d} z~.}$

Kjo është e barabartë me

${\displaystyle s=b\ \left[\;E\left(z\;{\Biggl |}\;1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\;\right]_{z\ =\ \arccos {\frac {x_{2}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}}$

ku ${\displaystyle E(z\mid m)}$ është integrali eliptik jo i plotë i llojit të dytë me parametër ${\displaystyle m=k^{2}.}$

Si seksione të rrafshët të kuadrikëve

Elipsat shfaqen si prerje të rrafshta të kuadrikëve të mëposhtëm:

• Elipsoid
• Kon eliptik
• Cilindri eliptik
• Hiperboloid me një napë
• Hiperboloid me dy napa

• 
  Elipsoid
• 
  Kon eliptik
• 
  Cilindri eliptik
• 
  Hiperboloid me një napë
• 
  Hiperboloidi me dy napa