Binomna raspodela

U teoriji verovatnoće i statistici, binomna raspodela sa parametrima i je diskretna raspodela verovatnoće broja uspeha u sekvenci od nezavisnih eksperimenata, svaki od kojih daje odgovor na da-ne pitanje, i svaki ima svoj bulov rezultat - uspeh/da/tačno/jedan (sa verovatnoćoḿ ) ili neuspeh/ne/lažno/nula (sa verovatnoćom q = 1 − ). Pojedinačni uspeh/neuspeh eksperimenta se takođe naziva Bernulijev pokušaj ili Bernulijev eksperiment, a sekvenca ishoda se naziva Bernulijev proces; za pojedinačni pokušaj, i.e., = 1, binomna distribucija je Bernulijeva raspodela. Binomna distribucija je osnova za popularni binomni test statističkog značaja.

Binomna raspodela

Funkcija verovatnoće
Funkcija kumulativne raspodele
Notacija	${\displaystyle B(n,p)}$
Parametri	${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$ – broj pokušaja ${\displaystyle p\in [0,1]}$ – verovatnoća uspeha za svaki pokušaj
Nositelj	${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,n\}}$ – broj uspeha
pmf	${\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$
CDF	${\displaystyle I_{1-p}(n-k,1+k)}$
Prosek	${\displaystyle np}$
Medijana	${\displaystyle \lfloor np\rfloor }$ ili ${\displaystyle \lceil np\rceil }$
Modus	${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$ ili ${\displaystyle \lceil (n+1)p\rceil -1}$
Varijansa	${\displaystyle np(1-p)}$
Koef. asimetrije	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}}$
Kurtoza	${\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}}$
Entropija	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi enp(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$ u šanonima.
MGF	${\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}}$
CF	${\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}}$
PGF	${\displaystyle G(z)=[(1-p)+pz]^{n}}$
Fišerova informacija	${\displaystyle g_{n}(p)={\frac {n}{p(1-p)}}}$ (za fiksno ${\displaystyle n}$)

Binomna distribucija za ${\displaystyle p=0,5}$
sa i kao u Paskalovom trouglu
Verovatnoća da će kugla u Galtonovoj kutiji sa 8 slojeva ( = 8) završiti u centralnoj kutiji ( = 4) je ${\displaystyle 70/256}$.

Binomna distribucija se često koristi za modelovanje broja uspeha u uzorku veličine koji je izvučen sa zamenom iz populacije veličine . Ako se uzorkovanje vrši bez zamene, izvlačenja nisu nezavisna, pa je rezultirajuća raspodela hipergeometrijska, a ne binomna. Međutim, za mnogo veće od , binomna distribucija ostaje dobra aproksimacija i široko se koristi.

Specifikacija

Funkcija verovatnoće

Generalno, ako randomna promenljiva X sledi binomnu distribuciju sa parametrima ∈ i ∈ [0,1], piše se X ~ . Verovatnoća da se dobije tačno uspeha u pokušaja je data funkcijom verovatnoće:

${\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

za  = 0, 1, 2, ..., n, gde je

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

binomni koeficijent,^[1] po kome je raspodela dobila ime. Formula se može razumeti na sledeći način. uspeha se javlja sa verovatnoćom i neuspeha se javlja sa verovatnoćom . Međutim, uspeha se može javiti bilo gde među pokušaja, i postoji ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ različitih načina raspodeljivanja uspeha u nizu od pokušaja.

Pri stvaranju referentnih tabela za verovatnoću binomne distribucije, obično se tabela popunjava do /2 vrednosti. To je zato što se za , verovatnoća može izračunati njenim komplementom kao

${\displaystyle f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).}$

Gledajući izraz kao funkciju od , postoji vrednosti koje je maksimiziraju. Stoga se vrednost može naći izračunavajući

${\displaystyle {\frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}}$

i upoređujući tu vrednost sa 1. Uvek postoji ceo broj M koji zadovoljava

${\displaystyle (n+1)p-1\leq M<(n+1)p.}$

je monotono rastući za i monotono opadajući za , uz izuzetak slučaja gde je ceo broj. U tom slučaju, postoje dve vrednosti za koje je maksimalno: i . je najverovatniji ishod (mada još uvek može da bude sveukupno malo verovatan) Bernulijevih pokušaja i naziva se modus.^[2][3][4][5]

Funkcija kumulativne verovatnoće

Funkcija kumulativne verovatnoće se može izraziti kao:^[6]

${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}}$

gde je ${\displaystyle \lfloor k\rfloor \,}$ „pod” ispod , i.e. najveći ceo broj manji od ili jedna sa .

On se može predstaviti u vidu regulisane nekompletne beta funkcije,^[7][8] na sledeći način:^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)\\&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt.\end{aligned}}}$

Neki granični slučajevi zatvorenog oblika za funkciju kumulativne distribucije dati su u nastavku.

Primer

Pretpostavka je da se pristranim bacanjem novčića dobija glava sa verovatnoćom 0,3. Pitanje je: koja je verovatnoća postizanja 0, 1, ..., 6 glava posle šest bacanja?

${\displaystyle \Pr(0{\text{ heads}})=f(0)=\Pr(X=0)={6 \choose 0}0.3^{0}(1-0.3)^{6-0}=0.117649}$

${\displaystyle \Pr(1{\text{ heads}})=f(1)=\Pr(X=1)={6 \choose 1}0.3^{1}(1-0.3)^{6-1}=0.302526}$

${\displaystyle \Pr(2{\text{ heads}})=f(2)=\Pr(X=2)={6 \choose 2}0.3^{2}(1-0.3)^{6-2}=0.324135}$

${\displaystyle \Pr(3{\text{ heads}})=f(3)=\Pr(X=3)={6 \choose 3}0.3^{3}(1-0.3)^{6-3}=0.18522}$

${\displaystyle \Pr(4{\text{ heads}})=f(4)=\Pr(X=4)={6 \choose 4}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535}$

${\displaystyle \Pr(5{\text{ heads}})=f(5)=\Pr(X=5)={6 \choose 5}0.3^{5}(1-0.3)^{6-5}=0.010206}$

${\displaystyle \Pr(6{\text{ heads}})=f(6)=\Pr(X=6)={6 \choose 6}0.3^{6}(1-0.3)^{6-6}=0.000729}$^[10]

Očekivanje

Ako je , drugim rečima, X je binomno distribuirana randomna promenljiva, pri čemu je ukupan broj eksperimenata, a je verovatnoća svakog eksperimenta da proizvede uspešan rezultat, onda je očekivana vrednost X:^[11]

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=np.}$

Na primer, ako je = 100, i = 1/4, onda je prosečan broj uspešnih rezultata 25.

Proof: Srednja vrednost, μ, se direktno izračunava po definiciji

${\displaystyle \mu =\sum _{i=0}^{n}x_{i}p_{i},}$

i binomnoj teoremi:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=np\sum _{k=0}^{n}k{\frac {(n-1)!}{(n-k)!k!}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{((n-1)-(k-1))!(k-1)!}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{\ell =0}^{n-1}{\binom {n-1}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{(n-1)-\ell }&&{\text{sa }}\ell$ :=k-1\\&=np\sum _{\ell =0}^{m}{\binom {m}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{m-\ell }&&{\text{sa }}m:=n-1\\&=np(p+(1-p))^{m}\\&=np\end{aligned}}}

Srednja vrednost se može izvesti iz jednačine ${\displaystyle X=X_{1}+\cdots +X_{n}}$ gde su sve randomne promenljive ${\displaystyle X_{i}}$ obuhvaćene Bernulijevom raspodelom sa ${\displaystyle E[X_{i}]=p}$ (${\displaystyle X_{i}=1}$ ako -ti eksperiment uspe, dok je inače ${\displaystyle X_{i}=0}$). Dobija se: ${\displaystyle E[X]=E[X_{1}+\cdots +X_{n}]=E[X_{1}]+\cdots +E[X_{n}]=\underbrace {p+\cdots +p} _{n{\text{ puta}}}=np}$

Varijansa

Varijansa je:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=np(1-p).}$

Dokaz: Neka je ${\displaystyle X=X_{1}+\cdots +X_{n}}$ gde su sve ${\displaystyle X_{i}}$ nezavisne randomne promenljive Bernulijeve raspodele. Kako je ${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=p(1-p)}$, dobija se:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {Var} (X_{1}+\cdots +X_{n})=\operatorname {Var} (X_{1})+\cdots +\operatorname {Var} (X_{n})=n\operatorname {Var} (X_{1})=np(1-p).}$