Ојлерова карактеристика

У математици, а тачније у алгебарској топологији и полиедарској комбинаторици, Ојлерова карактеристика (у појединим гранама математике понекад реферисана и само као карактеристика или Ојлеров број — не треба мешати са Ојлеровом константом, на коју се, такође, често реферише као на Ојлеров број) је инваријантна вредност која зависи од тополошког облика и особина објекта који описује. Најчешће се обележава малим грчким словом χ (хи). Назив захваљује Леонарду Ојлеру, познатом швајцарском математичару и физичару.

Оригинално се употребљавала у геометрији за описивање полиедара, али је своју примену пронашла у топологији и касније у теорији графова. То је наведено за платонска тела 1537. године у необјављеном рукопису Франческа Мауролика.^[1] Леонард Ојлер, по коме је концепт добио име, увео га је генерално за конвексне полиедре, али није успео да ригорозно докаже да је он инваријанта. У савременој математици, Ојлерова карактеристика произилази из хомологије и, апстрактније, хомолошке алгебре.^[2][3][4][5]

Ојлерова карактеристика у геометрији и топологији

Троугао има Ојлерову карактеристику 1.

Ојлерова карактеристика геометријске фигуре у геометрији означава суму ${\displaystyle \chi =T-I+P}$, где је број темена фигуре, број ивица а број пљосни дате фигуре. Управо овај идентитет^[6] је први доказао Ојлер.

Јасно, сваки троугао има карактеристику 1 (3 темена, 3 ивице и једна пљосан). Одавде следи да и свака раванска фигура има Ојлерову карактеристику 1 (свака фигура у равни се може триангулисати^[7], тј. разложити на више мањих троуглова — сада се спајањем два троугла по заједничкој ивици карактеристика не мења, јер се број темена повећава за 1, број ивица за 2, а број пљосни за 1). Како се и сваки полиедар може разложити на ланац повезаних полиедара, то је карактеристика целог полиедра управо 2 (настављањем полиедара један на други се карактеристика не мења, слично као малопре, али се при додавању „последњег」 полиедра број ивица и темена не мења, а добија се додатна пљосан).^[8] Уопштено, за правилан полиедар са „рупа」 важи да му је карактеристика (нпр. торус је карактеристике 0). Испод је дата табела неких конвексних и неких неконвексних тродимензионалних геометријских фигура са својим карактеристикама.

Назив	Слика	Конвексност	Број темена ()	Број ивица ()	Број пљосни ()	Карактеристика
Тетраедар		конвексан	4	6	6	2
Хексаедар (коцка)		конвексан	8	12	6	2
Октаедар		конвексан	6	12	8	2
Додекаедар		конвексан	20	30	12	2
Икосаедар		конвексан	12	30	20	2
Тетрахемихексаедар		конкаван	6	12	7	1
Октахемиоктаедар		конкаван	12	24	12	0
Мали звездасти додекаедар		конкаван	12	30	12	-6
Велики звездасти додекаедар		конкаван	20	30	12	2

Слично као у геометрији се дефинише Ојлерова карактеристика и у топологији. Испод се налази табела са неким тополошким облицима са својим карактеристикама.

Назив	Слика	Конвексност	Карактеристика
Сфера		конвексан	2
Торус		конкаван	0
Дупли (дворупи) торус		конкаван	-2
Трорупи торус		конкаван	-4

Ојлерова карактеристика у теорији графова

Пример планарног графа. Као и сви остали планарни графови, и овај је Ојлерове карактеристике 2.

Ојлерова карактеристика планарног графа у теорији графова је резултат ${\displaystyle \chi =|V(G)|-|E(G)|+f(G')}$, где је скуп чворова графа , скуп грана графа , а број области на које планарно утапање графа раздељује раван ℝ × ℝ својим гранама и чворовима.

Може се показати да сви планарни графови имају Ојлерову карактеристику 2 (у теорији графова је ово тврђење познато као Ојлерова теорема^[9]). У општем случају ће важити, за произвољан граф , ${\displaystyle \chi =|V(G)|-|E(G)|+f(G')=1+\omega (G)}$, где је број компоненти повезаности графа .

Испод је дата табела са неколико графова и њиховим карактеристикама.

Граф G	Број чворова G (|V(G)|)	Број грана G (|E(G)|)	Број области G (f(G'))	Број компоненти повезаности G (ω(G))	Карактеристика G	Напомена
	6	6	2	1	2
	12	18	8	1	2	Иако се граф на први поглед не чини планарним, ипак јесте (могуће је „извући」 поједине гране у „спољашњост」 како се не би секле са осталима).
	21	27	10	3	4

Види још

• Полиедар
• Планарни графови
• Конвексни скуп