Homološka algebra

Homološka algebra je grana matematike koja izučava homologiju u opštem algebarskom okruženju.^[1][2][3][4] To je relativno mlada disciplina, čije poreklo se može pratiti do istraživanja kombinatorne topologije^[5][6] (preteče algebarske topologije) i apstraktne algebre (teorije modula i linearnih relacija) s kraja 19. veka, uglavnom zaslugom Anrija Poenkarea i Dejvida Hilberta.

Dijagram koji se koristi u lemi zmije, osnovnom rezultatu u homološkoj algebri.

Razvoj homološke algebre bio je usko isprepleten s nastankom teorije kategorija. Uopšte, homološka algebra je proučavanje homoloških funktora i zamršenih algebričnih struktura koje oni uključuju. Jedan prilično koristan i sveprisutan koncept u matematici su lančani kompleksi, koji se mogu proučavati putem njihove homologije i kohomologije.^[7][8][9] Homološka algebra pruža sredstva za izdvajanje informacija sadržanih u ovim kompleksima i njihovo predstavljanje u obliku homoloških invarijanati prstenova, modula, topoloških prostora i drugih 'opipljivih' matematičkih objekata. Moćan alat za ovo pružaju spektralne sekvence.

Homološka algebra je od samog nastanka igrala ogromnu ulogu u algebarskoj topologiji. Njen uticaj se postepeno proširio i trenutno uključuje komutativnu algebru, algebarsku geometriju, teoriju algebarskih brojeva, teoriju reprezentacije, matematičku fiziku, operatorske algebre, kompleksnu analizu i teoriju parcijalnih diferencijalnih jednačina. K-teorija je nezavisna disciplina koja se zasniva na metodama homološke algebre, kao i nekomutativna geometrija Alena Kona.

Istorija homološke algebre

Proučavanje homološke algebre je započeto u njenom najosnovnijem obliku tokom 1800-ih kao grane topologije. Tek je tokom 1940-ih godina ona postala samostalni predmet proučavanja, sa izučavanjem tema kao što su: ext funktor i tor funktor, između ostalog.^[10]

Lančani kompleksi i homologija

Pojam kompleksa lanaca je centralan u homološkoj algebri. Apstraktni lančani kompleks je niz ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$ abelovih grupa^[11][12] i grupa homomorfizama,^[13][14] sa svojstvom da je kompozicija bilo koje dve uzastopne mape nula:

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

Elementi C_n se nazivaju n-lancima, a homomorfizmi d_n se nazivaju graničnim mapama ili diferencijalima. Lančane grupe C_n mogu biti obdarene dodatnom strukturom; na primer, to mogu biti vektorski prostori ili moduli preko fiksnog prstena R. Diferencijali moraju da sačuvaju dodatnu strukturu ako ona postoji; na primer, to moraju biti linearne mape ili homomorfizmi R-modula. Radi lakšeg označavanja, pažnju treba usredsrediti na abelove grupe (tačnije, na kategoriju Ab abelovih grupa); proslavljena teorema Barija Mičela implicira da će se rezultati generalizovati na bilo koju abelovu kategoriju. Svaki lančani kompleks definiše još dva niza abelovih grupa, cikluse Z_n = Ker d_n i granice B_n = Im d_n+1, gde Ker d i Im d označavaju jezgro i sliku od d.^[15][16] Pošto je kompozicija dve uzastopne granične mape nula, ove grupe su ugrađene jedna u drugu kao

${\displaystyle B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.}$

Podgrupe abelovih grupa su automatski normalne; stoga se može definisati n-ta homološka grupu H_n(C) kao faktorska grupa n-ciklusa po n-granicama,

${\displaystyle H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}=\operatorname {Ker} \,d_{n}/\operatorname {Im} \,d_{n+1}.}$

Kompleks lanca naziva se acikličnim ili tačan niz ako su sve njegove homološke grupe nula.