Векторска анализа

Векторска анализа је грана математике која проучава диференцијални и интегрални рачун над векторским пољима, primarily in 3-dimensional Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ The term "vector calculus" is sometimes used as a synonym for the broader subject of multivariable calculus, which spans vector calculus as well as partial differentiation and multiple integration.

Највећу примену у математици налази у диференцијалној геометрији и парцијалним диференцијалним једначинама, а од осталих грана науке, највише се користи у физици, посебно у електродинамици, механици флуида, гравитацији и сл.

Основни објекти

Скаларна поља

Главни чланак: Скаларна поља

Скаларно поље придружује скаларну вредност свакој тачки у простору. Скалар је математички број који представља физичку величину. Примери скаларних поља у апликацијама укључују дистрибуцију температуре у простору, расподелу притиска у флуиду и квантна поља са спином нула (позната као скаларни бозони), као што је Хигсово поље. Ова поља су предмет теорије скаларног поља.

Векторска поља

Главни чланак: Векторско поље

Векторско поље је додељивање вектора свакој тачки у простору.^[1] Векторско поље у равни, на пример, може се визуализовати као колекција стрелица са датом величином и смером, свака везана за тачку у равни. Векторска поља се често користе за моделовање, на пример, брзине и правца флуида који се креће кроз простор, или јачине и смера неке силе, као што је магнетна или гравитациона сила, како се мења од тачке до тачке. Ово се може користити, на пример, за израчунавање рада обављеног дуж линије.

Вектори и псеувектори

У напреднијим третманима, даље се разликују псеудовекторска поља и псеудоскаларна поља, која су идентична векторским пољима и скаларним пољима, осим што мењају предзнак под мапом која мења оријентацију: на пример, ротор векторског поља је псеудовекторско поље, а ако се одражава векторско поље, ротор је усмерен у супротном смеру. Ова разлика је разјашњена и разрађена у геометријској алгебри, као што је описано у наставку.

Векторска алгебра

Алгебарске (недиференцијалне) операције у векторском рачуну називају се векторском алгебром, дефинишу се за векторски простор и затим се глобално примењују на векторско поље. Основне алгебарске операције се састоје од:^[2]

Нотације у векторском рачуну

Операција	Нотација	Опис
Сабирање вектора	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}}$	Сабирање два вектора, дајући вектор.
Множење вектора	${\displaystyle a\mathbf {v} }$	Множење скалара и вектора, дајући вектор.
Скаларни производ вектора	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}$	Множење два вектора, дајући скалар.
Векторски производ	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}}$	Множењем два вектора у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ добија се (псеудо)вектор.

Такође се често користе два трострука производа:

Троструки производи векторског рачуна

Операција	Нотација	Опис
Скаларни троструки производ	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	Скаларни производ векторског производа два вектора.
Векторски троструки производ	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	Векторски производ векторског производа два вектора.

Оператори и теореме

Главни чланак: Идентитети векторског рачуна

Диференцијални оператори

Главни чланци: Градијент, Дивергенција, Ротор (математика) и Лапласов оператор

Векторски рачун проучава различите диференцијалне операторе дефинисане на скаларним или векторским пољима, који се обично изражавају у виду оператора (${\displaystyle \nabla }$), такође познатог као „набла」. Три основна векторска оператора су:^[3][4]

Диференцијални оператори у векторском рачуну

Операција	Нотација	Опис	Нотација аналогија	Домен/опсег
Градијент	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	Мери брзину и смер промене у скаларном пољу.	Скаларно множење	Пресликава скаларна поља у векторска поља.
Дивергенција	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	Мери скалар извора или понора у датој тачки у векторском пољу.	Скаларни производ вектора	Пресликава векторска поља у скаларна поља.
Ротор	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	Мери тенденцију ротације око тачке у векторском пољу у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.	Векторски производ	Пресликава векторска поља у (псеудо)векторска поља.
f означава скаларно поље и F означава векторско поље

Такође се често користе два Лапласова оператора:

Лапласови оператори у векторском рачуну

Операција	Нотација	Опис	Домен/опсег
Лапласијан	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	Мери разлику између вредности скаларног поља са његовим просеком на инфинитезималним куглама.	Мапе између скаларних поља.
Векторски Лапласијан	${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}$	Мери разлику између вредности векторског поља са његовим просеком на инфинитезималним куглама.	Мапе између векторских поља.
f означава скаларно поље и F означава векторско поље

Квантитет који се назива Јакобијанска матрица је користан за проучавање функција када су домен и опсег функције мултиваријабилни, као што је промена променљивих током интеграције.

Теореми интеграла

Три основна векторска оператора имају одговарајуће теореме које генерализују основну теорему рачуна на више димензије:

Интегралне теореме векторског рачуна

Теорема	Исказ	Опис
Теорема градијента	${\displaystyle \int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]}$	Криволинијски интеграл градијента скаларног поља дуж криве једнак је промени скаларног поља између крајњих тачака и q криве.
Теорема дивергенције	${\displaystyle \underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$	Интеграл дивергенције векторског поља над n-димензионалним чврстим телом једнак је флуксу векторског поља кроз (n−1)-димензионалну затворену граничну површину тела.
Теорема ротоара (Келвин–Стоукс)	${\displaystyle \iint _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\!\!\!\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$	Интеграл кривуље векторског поља преко површине Σ у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ једнак је кружењу векторског поља око затворене криве која ограничава површину.
${\displaystyle \varphi }$ означава скаларно поље и F означава векторско поље

У две димензије, теореме о дивергенцији и увијању своде се на Гринову теорему:

Гринова теорема векторског рачуна

Теорема	Исказ	Опис
Гринова теорема	${\displaystyle \iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\ =\ \oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)}$	Интеграл дивергенције (или завоја) векторског поља преко неког региона у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ једнак је флуксу (или циркулацији) векторског поља преко затворене криве која ограничава регион.
За дивергенцију, F = (M, −L). За ротор, F = (L, M, 0). L и M су функције од (x, y).