வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்முறை

கணிதத்தில் வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்முறை அல்லது காட்சி நிறுவல் (proof without words, visual proof) என்பது, ஒரு கணிதக் கூற்று அல்லது கணித முற்றொருமையின் ஒருவகையான விளக்கம் ஆகும். இம்முறையில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கூற்றானது தன்-விளக்கப் படங்களின் மூலம் மட்டுமே விளக்கப்படுகிறது. எந்தவொரு வார்த்தை விளக்கமும் அங்கு இடம்பெறாது. தன்-விளக்க இயல்பால் இது, முறையான நிறுவல்முறைகளைவிட எளிதான புரிதலைத் தருகின்றது.^[1] ஒரு குறிப்பிட்ட வகைக்கானதாக படம் அமைந்திருந்தாலும் அதனை ஒரு நிறுவல்முறையாகக் ஏற்றுக்கொள்வதற்கு, அது பொதுமைப்படுத்தக் கூடியதாகவும் இருக்கவேண்டும்.^[2]

முதல் n கனங்களின் கூட்டுத்தொகையானது, nவது முக்கோண எண்ணின் வர்க்கமாகும் என்ற நிசோமசுஸ் தேற்றக் (Gulley 2010) கூற்றின் காட்சி நிறுவலுக்கான தன்-விளக்கப்படம்.

வார்த்தைகளற்ற நிறுவலானது அது விளக்கும் கூற்றைப் பற்றிய தருக்க விளக்கத்தை கொண்டிராததால், இதனை முறையான கணித நிறுவலுக்குச் சமமானதாகக் கருதமுடியாது. இருப்பினும், கூற்றினைப் புரிந்துகொள்ளும் விதத்தில், தரமான உள்ளுணர்வுகளை படத்தைக் காண்போருக்கு காட்சி நிறுவல் ஏற்படுத்தும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத்தொகை

ஒற்றை எண்கள் தேற்றத்திற்கான காட்சி நிறுவல்

ஒற்றை எண்களுக்கான தேற்றத்தின் காட்சி நிறுவல் படத்திlல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

தேற்றத்தின் கூற்று:

2n − 1 வரையிலான ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத்தொகையானது ஒரு முழு வர்க்கமாகும்.

படத்தில், முழுவர்க்கமான n²— காட்சி நிறுவல் முறைப்படி விளக்கப்பட்டுள்ளது.^[3]

படத்திலுள்ள கட்டமைப்பின் ஒரு மூலையிலுள்ள கட்டம், முதல் முழுவர்க்க எண்ணான 1ஐக் குறிக்கிறது. அந்த ஒற்றைக் கட்டத்தின் இருபுறமும் மூன்று (அடுத்த ஒற்றை எண்) கட்டங்களைச் சுற்றியமைத்து 2 × 2 கட்டத்தொகுப்பை அமைக்க அது இரண்டாவது வர்க்க எண் 4ஐக் குறிக்கிறது. இரண்டாவது கட்டமைப்பின் இருபுறமும் 5 (மூன்றாவது ஒற்றை எண்) கட்டங்களைச் சுற்றியமைத்து மூன்றாவது 3 × 3 கட்டத்தொகுப்பை உருவாக்க அது மூன்றாவது வர்க்க எண்ணான 9 ஐக் குறிக்கிறது. இச்செயலைத் தொடர்ந்து செய்துகொண்டே போகும்போது அடுத்தடுத்த வர்க்க எண்களைக் குறிக்கும் கட்டமைப்புகள் உருவாக்கப்படும்.

பித்தேகோரசு தேற்றம்

பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் மாற்றமைப்பு நிறுவல். முக்கோணங்கள் மாற்றியமைக்கப்படுவதற்கு முன்னரும் பின்னரும் மூடப்படாத வெளிர்கருப்புப் பகுதியானது மாறாமலுள்ளது: இடதுபுறம் c²; வலதுபுறம் a²+b².

பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் கூற்றான ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ என்பதை காட்சி நிறுவல் முறையில் நிறுவலாம்.^[4]

${\displaystyle a+b}$ பக்க அளவுள்ள ஒரு பெரிய சதுரம்; அதனுள் நான்கு மூலைகளிலும் ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ பக்க அளவுகள் கொண்ட நான்கு செங்கோண முக்கோணங்கள்; இடைப்பட்ட மூலைவிட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு ${\displaystyle c^{2}}$. நான்கு முக்கோணங்களையும், எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட பெரிய சதுரத்துக்குள் பயன்படுத்தப்படாத பகுதியை ${\displaystyle a^{2},}$ ${\displaystyle b^{2}}$ பரப்பளவுள்ள இரு சதுரங்களாகப் பிரியுமாறு மாற்றியமைக்கலாம்.^[5]

பயன்பாடு

"கணித இதழ்", "கல்லூரி கணித இதழ்" ஆகிய இரு இதழ்களும் "வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்" என்ற தலைப்பின்கீழ் பல வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்களைத் தவறாமல் வெளியிட்டு வருகின்றன.^[3] "சிக்கல் தீர்க்கும் கலை" மற்றும் "ஐக்கிய அமெரிக்க கணிதத் திறன் தேடல்" எனும் இணையதளங்கள், வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்களுக்கான விளக்கப்படங்களை அளிக்கும் ஜாவா குறுபயன் செயலிகளை செயற்படுத்துகின்றன.^[6][7]

பிற நிறுவல்களுடன் ஒப்பீடு

கணிதச் சமுதாயத்தால் ஒரு நிறுவல்முறை ஏற்றுக்கொள்ளப்பட வேண்டுமானால், அது நிறுவ முயலும் கூற்றானது எவ்வாறு பல மெய்கோள்களை முழுவதுமாகப் பின்பற்றி அமைகிறது என்பதைத் தருக்கரீதியாகத் தெளிவுபடுத்தவேண்டும்.^[8] வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்முறை அம்மாதிரியான விவாதத்தை நேரிடையாக அளிப்பதில்லை. எனவே முறையான நிறுவல் தேவைப்படும் சூழல்களில், முறையான நிறுவலுக்குப் பதிலானதாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுவதில்லை^[9][10] மாறாக, இந்த நிறுவல்முறையானது ஏற்கனவே முறையான நிறுவலைக் கொண்டுள்ள கருத்துகளுக்கு விளக்கப்படங்களாகவும் கற்றல் கருவிகளாகவும் கணிதவியலாளர்களால் பயன்படுத்தப்படுகிறது.^[11][12]