வகையிடல் விதிகள்

வகையிடல் விதிகள் (differentiation rules) என்பவை நுண்கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காண்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் விதிமுறைகள் ஆகும். இக்கட்டுரையில் அத்தைகையப் பல்வேறு விதிகளும் தொகுத்தளிக்கப்பட்டுள்ளன.

வகையிடலின் அடிப்படை விதிகள்

கீழ்க்காணும் விதிகளில் தரப்பட்டச் சார்புகளின் தன்மை குறிப்பிடப்படாமல் இருந்தால், அவை மெய்யெண்களில் அமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்புகளாகவே எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. எனினும் நன்கு வரையறை செய்யப்பட்ட அனைத்துச் சார்புகளுக்கும் (சிக்கலெண்கள் உட்பட) இவை உண்மையாக அமையும்.^[1][2][3]

வகையிடலின் நேரியல்பு

f மற்றும் g எவையேனும் இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள்; a மற்றும் b மெய்யெண்கள் எனில்,

h(x) = af(x) + bg(x) என்ற சார்பின் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).\,}$

இது லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$

சிறப்பு வகைகள்:

• வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதி

${\displaystyle (af)'=af'\,}$

• வகையிடலின் கூட்டல் விதி

${\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}$

• வகையிடலின் கழித்தல் விதி

${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}$

பெருக்கல் விதி

முதன்மைக் கட்டுரை: வகையிடலின் பெருக்கல் விதி

வகையிடலின் பெருக்கல் விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம் லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.

தரப்பட்ட இரு சார்புகள் f , g எனில்,

h(x) = f(x) g(x) -சார்பின் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

${\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}$

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}$

சங்கிலி விதி

முதன்மைக் கட்டுரை: சங்கிலி விதி

வகையிடலின் சங்கிலி விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்பாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதிப்படி,

h(x) = f(g(x)) எனும் சார்பின் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x)\,}$

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}\,}$

இது பின்வருமாறும் எழுதப்படுகிறது.

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}{\frac {dg}{dx}}\,}$

நேர்மாறுச் சார்பு விதி

முதன்மைக் கட்டுரை: நேர்மாறுச் சார்பு விதி

இவ்விதி ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது.

f சார்பின் நேர்மாறு சார்பு g எனில்,

g(f(x)) = x, f(g(y)) = y, என இருந்தால்:

${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}\,}$

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}}$

அடுக்கு விதி

முதன்மைக் கட்டுரை: வகையிடலின் அடுக்கு விதி

வகையிடலின் அடுக்கு விதியின் கூற்று: ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$, n ஒரு முழு எண் எனில்:

${\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\,}$

இவ்விதியின் சிறப்பு வகைகள்:

• மாறிலி விதி:

f ஒரு மாறிலிச் சார்பு, ${\displaystyle f(x)=c}$எனில்:

${\displaystyle f'(x)=0}$

• ${\displaystyle f(x)=x}$ (முற்றொருமைச் சார்பு எனில்,

${\displaystyle f'(x)=1}$

• நேரியல் சார்பின் வகைக்கெழு ஒரு மாறிலியாகும்:

${\displaystyle f(x)=ax+b}$ எனில்,

${\displaystyle f'(x)=a}$

இவ்விதியையும் வகையிடலின் நேரியல்பையும் இணைத்து எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் வகையிடலாம்.

தலைகீழி விதி

முதன்மைக் கட்டுரை: வகையிடலின் தலைகீழி விதி

${\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}\ }$ ( f (x) பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் அவசியம்) எனில்:

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{[f(x)]^{2}}}\ }$

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}\,}$

அடுக்கு விதியையும் சங்கிலி விதியையும் இணைத்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

வகுத்தல் விதி

முதன்மைக் கட்டுரை: வகையிடலின் வகுத்தல் விதி

f , g என்பன வகையிடத்தக்க இரு சார்புகள் எனில்:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }$, (g பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் வேண்டும்.)

பெருக்கல் விதியையும் தலைகீழி விதியையும் இணைத்து இவ்விதியைப் பெறலாம். மறுதலையாக, இவ்விதியிலிருந்து f(x) = 1 எனும் சிறப்பு வகையாகத் தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அடுக்குவிதி

f , g என்பன இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$

இருபுறமும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டிருத்தல் அவசியம்.

சிறப்பு வகைகள்:

• a ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் மற்றும் x நேர்மம் எனில்:

${\displaystyle f(x)=x^{a}}$ என்பதன் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:

${\displaystyle f'(x)=ax^{a-1}}$

• g(x) = −1 எனில் இவ்விதியிலிருந்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

அடுக்குக்குறிச் சார்பு, மடக்கைச் சார்பின் வகையீடுகள்

${\displaystyle \left(c^{ax}\right)'={c^{ax}\ln c\cdot a}\qquad c>0}$

இச்சமன்பாடு, c இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; c < 0 என்பது சிக்கலெண்ணைத் தரும்.

${\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x}}$

${\displaystyle \left(\log _{c}x\right)'={1 \over x\ln c}\qquad c>0,c\neq 1}$

மேலுள்ள சமன்பாடு c இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; ஆனால் சிக்கலெண்ணைத் தரும்.

${\displaystyle \left(\ln x\right)'={1 \over x}\qquad x\neq 0}$

${\displaystyle \left(\ln |x|\right)'={1 \over x}}$

${\displaystyle \left(x^{x}\right)'=x^{x}(1+\ln x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}[\ln(f(x))]={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$

மடக்கையின் அடிமாற்று விதியைப் பயன்படுத்த,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log _{b}(e)}{x}}}$

மடக்கை வகையிடல்

மடக்கை வகையிடல் என்பது ஒரு சார்பின் மடக்கையை வகையிடுவதாகும்.

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }$ இங்கு f நேர்மமாக இருத்தல் வேண்டும்.

முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்

முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}$	${\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}$	${\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,}$	${\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}$
${\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$
${\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$
${\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,}$

மீவளையச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்

${\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$
${\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}$	${\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}$

சிறப்புச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்

காமா சார்பு ${\displaystyle \Gamma '(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}$ ${\displaystyle =\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)=\Gamma (x)\psi (x)}$

ரீமன் சீட்டா சார்பியம் ${\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!}$ ${\displaystyle =-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!}$

தொகையீடுகளின் வகைக்கெழுக்கள்

x ஐப் பொறுத்து வகையிட வேண்டிய சார்பு-

${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt;}$

${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,}$ இரண்டையும் உள்ளடக்கிய ${\displaystyle (t,x)\,}$ தளத்தின் ஒரு பகுதியில், ${\displaystyle f(x,t),\,}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\,}$ என்ற இரு சார்புகளும் ${\displaystyle t\,}$ மற்றும் ${\displaystyle x\,}$ களில் தொடர்ச்சியானவையாகவும்;

${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,}$ இடைவெளியில், சார்புகள் ${\displaystyle a(x)\,}$ and ${\displaystyle b(x)\,}$ இரண்டும் தொடர்ச்சியான சார்புகளாகவும் தொடர்ச்சியான வகைக்கெழுக்களும் கொண்டிருந்தால்:

${\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt,\,}$ ${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}\,\,}$

இவ்வாய்ப்பாடு லைப்னிட்சின் தொகையீட்டு விதியின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். மேலும் இதனை நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.

n ஆம் வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

ஃபா டி புரூனோவின் வாய்ப்பாடு

f , g இரண்டும் n தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}$

இங்கு ${\displaystyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m},}$ ${\displaystyle \{k_{m}\}}$ இரண்டும்,

${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$ -டியோஃபாண்டைன் சமன்பாட்டின் எதிர்மமற்ற முழு எண் தீர்வுகள் அனைத்தையும் கொண்டவை

பொது லைப்னிட்ஸ் விதி

வகையிடலின் பெருக்கல் விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவமே பொது லைப்னிட்ஸ் விதியாகும்.

f , g இரண்டும் n தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$