Hiposikloid

Hiposikloid, matematikte ve özellikle düzlem eğrileri alanında önemli bir yuvarlanma eğrisidir. Bir çemberin (yarıçapı r), kendisinden daha büyük ve sabit bir çemberin (yarıçapı R) iç yüzeyinde kaymadan yuvarlanması sırasında, küçük çember üzerindeki sabit bir noktanın izlediği yol hiposikloid olarak adlandırılır.^[1] Bu eğri, sikloid ailesinin bir üyesidir ve yuvarlanma eğrileri (roulette) arasında yer alır.

Kırmızı yol, daha küçük siyah dairenin daha büyük siyah dairenin içinde yuvarlanmasıyla çizilen bir hiposikloiddir (parametreler R=4.0, r=1.0 ve dolayısıyla k=4'tür, bu da bir astroid verir ).

Tarihçe ve Kullanım Alanları

Hiposikloid kavramı ilk olarak 13. yüzyılda Nasir al-Din al-Tusi tarafından tanımlanmıştır.^[2] Daha sonra astroid ve deltoid gibi özel hiposikloidler matematikçiler tarafından incelenmiştir.^[3]

Hiposikloidler, dişli mekanizmalarında (hiposikloid dişli mekanizması), makine mühendisliğinde ve bazı fiziksel sistemlerin modellenmesinde kullanılmaktadır.^[4]

Matematiksel Özellikler

Parametrik Denklemleri

Hiposikloidin parametrik denklemleri şu şekildedir:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}}$

Burada θ, yuvarlanan çemberin merkezinin yaptığı açıya karşılık gelir.

Kapanma ve Tepe Noktaları

Eğer R/r oranı bir tam sayı ise, hiposikloid kapalı bir eğri olur ve bu sayı kadar tepe (köşe) noktası (cusps) içerir. Örneğin, R=4r ise, dört tepe noktalı bir hiposikloid (astroid) elde edilir.^[5]

Özel Durumlar

R=2r olduğunda, hiposikloid bir doğru parçası olur (Tusi çifti).^[6]

R=3r olduğunda, üç tepe noktalı bir deltoid elde edilir.

İlgili Eğriler

Episikloid: Küçük çemberin büyük çemberin dışında yuvarlanmasıyla oluşan eğridir.^[7]

Hipotrokoid: Küçük çemberin içindeki herhangi bir noktadan izlenen yoldur.^[8]