Інтегрувальний множник

Інтегрувальний множник (англ. integrating factor) — функція, за допомогою якої спрощують розв'язування певного рівняння із диференціалами. Інтегрувальний множник часто використовують для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, але також використовується в аналізі функцій багатьох змінних, де множення на такий множник дозволяє неточний диференціал перевести в точний (який вже можна інтегрувати для отримання скалярного поля). Це особливо корисно в термодинаміці, де температура стає інтегрувальним множником, який робить ентропію точним диференціалом.

Використання для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь

Інтегрувальні множники стають у пригоді під час ров'язання звичайних диференціальних рівнянь, які можна записати в формі

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}$

Ідея полягає у віднайдені деякої функції ${\displaystyle M(x)}$, яка зветься "інтегрувальний множник," на яку ми можемо помножити наше диференціальне рівняння з тим, щоб отримати ліворуч похідну. Для лінійного диференціального рівняння в канонічній формі як наведено вище, інтегрувальний множник буде

${\displaystyle M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}$

І множення на ${\displaystyle M(x)}$ дає

${\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}$

Використовуючи правило добутку в зворотньому напрямку, ми бачимо, що лівий бік рівняння можна виразити як одну похідну по ${\displaystyle x}$

${\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}={\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})}$

Ми використовуємо цей факт, щоб спростити вираз до

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}$

Тоді ми інтегруємо обидва боки по ${\displaystyle x}$, спочатку через перейменування ${\displaystyle x}$ у ${\displaystyle t}$, отримуємо

${\displaystyle ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+C}$

Насамкінець, ми можемо перенести показникову функцію праворуч для отримання загального розв'язку:

${\displaystyle y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}$

У випадку однорідного диференціального рівняння, коли ${\displaystyle Q(x)=0}$, ми отримуємо

${\displaystyle y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}}}$

де ${\displaystyle C}$ є сталою.

Приклад

Розв'яжемо диференціальне рівняння

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}$

Можна побачити, що в цьому випадку ${\displaystyle P(x)={\frac {-2}{x}}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int P(x)\,dx}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}}$ (Зауважте, що ми не мусимо включати сталу інтегрування - нам потрібен лише розв'язок, а не загальний розв'язок)

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

Множимо на ${\displaystyle M(x)}$ і отримуємо

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}$

Згадуємо як брати похідну від дробу і робимо це у зворотньому напрямку

${\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}$

або

${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C\,}$

що нам дає

${\displaystyle y\left(x\right)=Cx^{2}.}$

Посилання

Weisstein, Eric W. Інтегрувальний множник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.