Їжак (топологія)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Їжак (значення).

Їжак у загальній топології — приклад метризовного простору. Будується з центральної точки ${\displaystyle O}$, одиничного півінтервалу ${\displaystyle \mathbb {P} =(0,1]}$ і довільної множини ${\displaystyle S}$ заданої потужності ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, яку називають колючістю їжака, як:

${\displaystyle J({\mathfrak {m}})=\{O\}\cup (\mathbb {P} \times S)}$,

із введенням метрики в такий спосіб:

1. ${\displaystyle d(O,(x,s))=x}$
2. ${\displaystyle d((x,s_{1}),(y,s_{2}))={\begin{cases}|x-y|,&s_{1}=s_{2}\\x+y,&s_{1}\neq s_{2}\end{cases}}}$.

Назва виникла через асоціацію з «голками», що стирчать з відрізка, «колючість» у цій асоціації зіставляється з кількістю голок. Таким чином, ${\displaystyle J(0)}$ — просто точка ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle J(1)=J(2)}$ — відрізок.

Властивості

Їжак заданої колючості не залежить від вибору множини ${\displaystyle S}$ із точністю до гомеоморфізму.

Їжак є повним простором, також не є цілком обмеженим простором, при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \omega }$^[1], не сильно паракомпактний при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}>\omega }$^[2].

Не є локально сепарабельним при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}>\omega }$^[3].

${\displaystyle J({\mathfrak {m}})}$ вкладається в ${\displaystyle J({\mathfrak {n}})}$ при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\leqslant {\mathfrak {n}}}$.

${\displaystyle J({\mathfrak {m}})}$ вкладається в площину ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ тільки при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}<\omega }$ (вже у зліченному випадку характер центра їжака стає незліченним).

Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — скінченна, то вага, щільність, характер, клітковість^[ru] і число Ліндельофа їжака ${\displaystyle J({\mathfrak {m}})}$ дорівнюють ${\displaystyle \omega }$. Інакше (при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \omega }$) вага і характер дорівнюють ${\displaystyle 2^{\mathfrak {m}}}$, а щільність, клітковість і число Ліндельофа — ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.

Цікаві відомості

Квадрат триноги ${\displaystyle J(3)}$ не вкладається у тривимірний евклідів простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

На площині (${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) неможливо розташувати незліченну кількість тріодів ${\displaystyle J(3)}$ так, щоб вони попарно не перетиналися.

Відкрите відображення їжака — знову їжак, не більшої колючості (тут треба акуратно розуміти збіги випадків${\displaystyle J(1)}$ і ${\displaystyle J(2)}$).