Алгебра Гопфа

Алгебра Гопфа — асоціативна алгебра з одиницею, що є також коасоціативною коалгеброю з коодиницею і, таким чином, біалгеброю з антигомоморфізмом спеціального виду. Названа на честь Гайнца Гопфа.

Алгебри Гопфа зустрічаються в алгебраїчній топології, де вони виникли у зв'язку з концепцією H-простору, в теорії групових схем, в теорії груп (завдяки концепції групового кільця), і в багатьох інших розділах математики, що робить їх одним з найвідоміших прикладів біалгебри. Алгебри Гопфа також вивчаються як самостійний предмет, у зв'язку з великою кількістю певних класів алгебр Гопфа і проблем їх класифікації.

Означення

Алгебра Гопфа — асоціативна і коасоціативна біалгебра H над полем ${\displaystyle K}$ разом з ${\displaystyle K}$-лінійним відображенням ${\displaystyle S\colon H\to H}$ (що називається антиподом) таким, що наступна діаграма є комутативною:

Тут Δ — кодобуток біалгебри, ∇ — добуток алгебри, η — одиниця алгебри й ε — коодиниця.

У позначеннях Свідлера, ця властивість записується як:

${\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1\qquad \forall c\in H}$.

Наведене означення можна узагальнити для алгебр над кільцями (досить в означенні замінити поле ${\displaystyle K}$ на комутативне кільце ${\displaystyle R}$).

Означення алгебри Гопфа є двоїстим самому собі (це відображено в симетрії наведеної діаграми), зокрема, якщо можна задати двоїсту алгебру до H (це завжди можливо якщо H є скінченновимірним простором) то вона автоматично є алгеброю Гопфа.

Структурні константи

Зафіксувавши базис ${\displaystyle \{e_{k}\}}$ алгебри як векторного простору, алгебру Гопфа можна описати за допомогою структурних констант

для множення:

${\displaystyle e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}}$

для кодобутку:

${\displaystyle \Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}}$

для антипода:

${\displaystyle Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}}$

Асоціативність алгебри тоді вимагає рівності

${\displaystyle \mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}}$

для коасоціативності має виконуватися рівність

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}}$

Також для структурних констав має бути

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;pm}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;pm}^{n}}$

Властивості антипода

В означенні алгебр Гопфа для антипода S часто ставиться вимога існування K-лінійного оберненого відображення, яке автоматично існує у скінченновимірному випадку, або якщо алгебра H є комутативною, кокомутативною або, більш загально, квазітрикутною.

Взагалі кажучи, S є антигомоморфізмом ^[1], так S² - гомоморфізм, який буде автоморфізмом, якщо S є оборотним.

Якщо ${\displaystyle S^{2}=Id}$, то алгебра Гопфа, як кажуть, є інволютивною (основним прикладом інволютивної алгебри є *-алгебра). Якщо H — скінченновимірна напівпроста алгебра над полем характеристики нуль, що є комутативною або кокомутативною, то вона є інволютивною.

Якщо біалгебра B допускає антипод S, то S є єдиним (довільна біалгебра допускає щонайбільше 1 структуру алгебри Гопфа).^[2]

Антипод є аналогом відображення інверсії на групі, яке відображає ${\displaystyle g}$ у ${\displaystyle g^{-1}}$. ^[3]

Підалгебри Гопфа

Підалгебра A алгебри Гопфа H є підалгеброю Гопфа, якщо вона є підкоалгеброю H і антипод S відображає A в A. Іншими словами, підалгебра Гопфа A - це підпростір в алгебрі Гопфа, замкнутий щодо множення, кодобутку й антипода. Теорема Ніколса — Зеллер (Nichols - Zoeller) про вільність стверджує, що якщо H є скінченновимірною, то натуральний A-модуль H є вільним модулем скінченного рангу, що дає узагальнення теореми Лагранжа для підгруп. Як наслідок цього, підалгебра Гопфа напівпростої скінченновимірної алгебри Гопфа автоматично є напівпростою.

Підалгебра Гопфа A називається правою нормальною підалгеброю алгебри Гопфа H, якщо вона задовольняє умові стабільності, ${\displaystyle ad_{r}(h)(A)\subseteq A}$ для всіх h з H, де приєднане відображення ${\displaystyle ad_{r}}$ задане як ${\displaystyle ad_{r}(h)(a)=S(h_{(1)})ah_{(2)}}$ для всіх a з A і h з H. Підалгебра Гопфа K є лівою нормальною в H якщо вона інваріантна при лівому приєднаному відображенню ${\displaystyle ad_{\ell }(h)(k)=h_{(1)}kS(h_{(2)})}$ для всіх k з K. Обидві умови нормальності є еквівалентними, якщо антипод S є бієктивним. У цьому випадку A називається нормальною підалгеброю Гопфа.

Нормальна підалгебра Гопфа A в H задовольняє умові рівності підмножин: ${\displaystyle HA^{+}=A^{+}H}$, де ${\displaystyle A^{+}}$ позначає ядро коодиниці K. З цієї умови нормальності випливає, що ${\displaystyle HA^{+}}$ — ідеал алгебри Гопфа H (тобто є ідеалом алгебри в ядрі коодиниці, коідеалом коалебри й стійким під дією антипода). Як наслідок, можна визначити факторалгебру Гопфа ${\displaystyle H/HA^{+}}$ і епіморфізм ${\displaystyle H\rightarrow H/A^{+}H}$, аналогічно відповідним конструкціям нормальних підгруп і факторгруп у теорії груп. ^[4]

Приклади

	Залежить від	Кодобуток	Коодиниця	Антипод	Комутативність	Кокомутативність	Зауваження
Групова алгебра KG	групи G	Δ(g) = g ⊗ g для всіх g з G	ε(g) = 1 для всіх g із G	S(g) = g−1 для всіх g з G	тільки коли G є комутативною	так
функції f зі скінченної [5] групи в K, KG (з поточковим додаванням і множенням)	скінченна група G	Δ(f)(x,y) = f(xy)	ε(f) = f(1G)	S(f)(x) = f(x−1)	так	тільки якщо G є комутативною
Функції представлення компактних груп	Компактна група G	Δ(f)(x,y) = f(xy)	ε(f) = f(1G)	S(f)(x) = f(x−1)	так	тільки якщо G є комутативною	Навпаки, кожна комутативна, інволютивна, редукована алгебра Гопфа над C зі скінченним інтегралом Хаара може бути отримана в такий спосіб (двоїстість Танаки — Крейна).[6]
Регулярні функції на алгебричних групах		Δ(f)(x,y) = f(xy)	ε(f) = f(1G)	S(f)(x) = f(x−1)	так	тільки якщо G є комутативною	Навпаки, кожна комутативна алгебра Гопфа над полем одержується в такий спосіб їхньої групової схеми.[7]
Тензорна алгебра T(V)	Векторний простір V	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, x з V, Δ(1) = 1 ⊗ 1	ε(x) = 0	S(x) = −x для всіх x з 'T1(V) (і далі узагальнивши на вищі тензорні степені)	Тільки якщо dim(V)=0,1	так	Симетрична алгебра і зовнішня алгебра (що є факторалгебрами тензорної алгебри) теж є алгебрами Гопфа із відповідними означеннями
Універсальна обгортуюча алгебра U(g)	Алгебра Лі g	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x для всіх x з g (це правило можна в єдиний спосіб продовжити на всю U)	ε(x) = 0 для всіх x з g (із продовженням на U)	S(x) = −x	тільки якщо g є комутативною	так
Алгебра Свідлера H=K[c, x]/c2 = 1, x2 = 0 і xc = −cx.	K — поле характеристика якого не рівна 2	Δ(c) = c ⊗ c, Δ(x) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1	ε(c) = 1 і ε(x) = 0	S(c) = c−1 = c і S(x) = −cx	ні	ні	Векторний простір породжений елементами {1, c, x, cx} і має розмірність 4.Це найменший приклад алгебри Гопфа, що не є ні комутативними, ні кокомутативними.
Кільце симетричних функцій[8]		в термінах повних однорідних симетричних функцій hk (k ≥ 1): Δ(hk) = 1 ⊗ hk + h1 ⊗ hk−1 + ... + hk−1 ⊗ h1 + hk ⊗ 1.	ε(hk) = 0	S(hk) = (−1)k ek	так	так

Когомології груп Лі

Алгебра когомологій групи Лі — алгебра Гопфа: множення задано ${\displaystyle \smile }$-добутком, а кодобуток

${\displaystyle H^{*}(G)\rightarrow H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)}$

множенням групи ${\displaystyle G\times G\rightarrow G}$.

Це спостереження було фактично джерелом поняття алгебри Гопфа. Використовуючи цю структуру, Гопф довів структурну теорему для алгебри когомологій груп Лі.

Теорема Гопфа ^[9] Нехай A — скінченновимірна, суперкомутативна, кокомутативна алгебра Гопфа над полем характеристики 0. Тоді A (як алгебра) є вільною зовнішньою алгеброю з генераторами непарного степеня.

Квантові групи

Всі приклади вище є або комутативними (тобто множення є комутативним) або кокомутативними (тобто Δ = T ∘ Δ, де T : H ⊗ H → H ⊗ H — перестановка тензорних множників, задана як T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Іншими цікавими прикладами алгебр Гопфа — деякі деформації або «квантування» прикладу 4, які не є ні комутативними, ні кокомутативними. Ці алгебри Гопфа часто називають квантовими групами.

Ідея полягає в наступному: звичайна алгебрична група може бути описана в термінах алгебри Гопфа регулярних функцій. Ми можемо тоді думати про деформації цієї алгебри Гопфа як про опис деякої «квантованої» алгебричної групи (хоча вона і не є алгебричною групою). Багато властивостей алгебричних груп, а також конструкції з ними мають свої аналоги для деформованих алгебр Гопфа. Звідси назва «квантова група».

Аналогія з групами

Аксіоми груп можна подати за допомогою тих же діаграм (еквівалентностей, операцій) що й алгебри Гопфа, де H — множина, а не модуль. У цьому випадку:

• кільце R замінюється множиною з 1 елемента
• є природна коодиниця (відображення в єдиний елемент)
• є природний кодобуток (діагональне відображення)
• одиниця — нейтральний елемент групи
• множення — множення в групі
• антипод — обернений елементу в групі.

В цьому сенсі групи можна розглядати як алгебри Гопфа над полем з одного елемента. ^[10]