Альтернатива Тітса

Альтернати́ва Ті́тса — теорема про будову скінченно породжених лінійних груп. Названа на честь Жака Тітса^[en].

Формулювання

Нехай ${\displaystyle G}$ скінченно породжена лінійна група над деяким полем. Тоді для ${\displaystyle G}$ виконується рівно одне з таких тверджень

• Або ${\displaystyle G}$ майже розв'язна, тобто містить розв'язну підгрупу скінченного індексу.
• Або ${\displaystyle G}$ містить підгрупу, ізоморфну вільній групі з двома твірними.

Наслідки

• Лінійна група не аменабельна, тоді й лише тоді, коли вона містить неабелеву вільну групу.
  • Іншими словами, гіпотеза фон Неймана справедлива й для лінійних груп.
• Альтернатива Тітса є важливим компонентом у доведенні теореми Громова про групи поліноміального зростання.

Варіації та узагальнення

Кажуть, що група ${\displaystyle G}$ задовольняє альтернативу Тітса, якщо кожна підгрупа ${\displaystyle H<G}$ майже розв'язна або містить неабелеву вільну підгрупу. Іноді у визначенні додатково припускають, що ${\displaystyle H}$ скінченно породжена.

Прикладами груп, що задовольняють альтернативу Тітса, є лінійні групи, а також:

• Гіперболічні групи
• Група класів перетворень поверхні^[1][2]
• ${\displaystyle Out(F_{n})}$^[en][3]

Приклади груп, що не задовольняють альтернативу Тітса:

• Група Григорчука ;
• Група F Томпсона .

Про доведення

У доведенні розглядають замикання ${\displaystyle {\bar {G}}}$ групи ${\displaystyle G}$ у топології Зариського. Якщо ${\displaystyle {\bar {G}}}$ розв'язна, то й група ${\displaystyle G}$ розв'язна. В іншому випадку переходять до розгляду образу ${\displaystyle G}$ в компоненті Леві ${\displaystyle {\bar {G}}}$. Якщо вона некомпактна, то пінг-понг лема завершує доведення. Якщо вона компактна, то або всі власні значення елементів у образі ${\displaystyle G}$ є коренями одиниці, отже, образ ${\displaystyle G}$ скінченний, або можна знайти вкладення, для якого застосовна пінг-понг лема.