Пінг-понг лема

У математиці пінг-понг лема (або лема про настільний теніс) — це будь-яке з математичних тверджень, які стверджують, що декілька елементів у групі, які діють на деякій множині вільно, породжують вільну підгрупу цієї групи.

Історія

Пінг-понг аргументація бере свої витоки з кінця 19 століття і зазвичай приписується ^[1] Феліксу Кляйну, який використовував її при дослідженні підгруп кляйнівських груп, тобто ізометричних дискретних груп тривимірного гіперболічного простору, або, що еквівалентно, перетворень Мебіуса сфери Рімана. Пінг-понг лема була ключовим інструментом Жака Тітса^[en] у роботі^[2] 1972 року, яка містить доведення такого відомого нині результату як альтернатива Тітса. Результат стверджує, що скінченнопороджена^[en] лінійна група або є майже розв'язною, або містить вільну підгрупу рангу 2. Пінг-понг лема та її варіації широко використовуються в геометричній топології^[en] і геометричній теорії груп.

Сучасні версії пінг-понг леми можна знайти в багатьох книжках, зокрема, Ліндон & Шупп,^[3] де ла Гарп,^[1] Брідсон & Гефлінгер^[4].

Формальні твердження

Пінг-понг лема для декількох підгруп

Ця версія пінг-понг леми стверджує, що декілька підгруп групи, діючих на множині вільно, породжують вільний добуток. Нижченаведене твердження з'явилося в роботі Олійника та Сущанського^[5], а його доведення в роботі де ла Гарпи.^[1]

Нехай ${\displaystyle G}$ — група, що діє на множині ${\displaystyle X}$, і нехай ${\displaystyle H_{1},H_{2},\dots ,H_{k}}$, де ${\displaystyle k\geq 2}$, — підгрупи групи ${\displaystyle G}$ такі, що хоча б одна із цих підгруп має порядок більший ніж 2. Припустимо, що існують попарно неперетинні непорожні підмножини ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}}$ із множини ${\displaystyle X}$, які задовольняють наступну умову:

• для будь-якого ${\displaystyle i\neq s}$ і для будь-якого ${\displaystyle h\in H_{i}}$, ${\displaystyle h\neq 1}$ маємо: ${\displaystyle h(X_{s})\subseteq X_{i}}$.

Тоді

${\displaystyle \langle H_{1},\dots ,H_{k}\rangle =H_{1}\ast \dots \ast H_{k}.}$

${\displaystyle }$

Доведення

З означення вільного добутку випливає, що достатньо буде перевірити лише те, чи задане непорожнє зведене слово представляє собою нетривіальний елемент із групи ${\displaystyle G}$. Нехай ${\displaystyle w}$ буде таким словом, довжина якого ${\displaystyle m\geq 2}$, і нехай

${\displaystyle w=\prod _{i=1}^{m}w_{i},}$

де ${\displaystyle w_{i}\in H_{\alpha i}}$ для деяких ${\displaystyle \alpha _{i}\in \{1,\dots ,k\}}$. Оскільки слово ${\displaystyle w}$ є зведеним, то ${\displaystyle \alpha \neq \alpha _{i+1}}$ для будь-яких ${\displaystyle i=1,\dots ,m-1}$ і кожне ${\displaystyle w_{i}}$ відрізняється від нейтрального елемента з підгрупи ${\displaystyle H_{\alpha _{i}}}$. Після цього діємо словом ${\displaystyle w}$ на елемент однієї із множин ${\displaystyle X_{i}}$. Оскільки припустили, що хоча б одна підгрупа ${\displaystyle H_{i}}$ має порядок щонайменше 3, то без втрати загальності^[en] можна припустити, що ${\displaystyle H_{i}}$ має порядок щонайменше 3. Спочатку робимо припущення, що ${\displaystyle \alpha _{1}}$ і ${\displaystyle \alpha _{m}}$ одночасно дорівнюють 1 (із чого випливає, що ${\displaystyle m\geq 3}$). Тепер розглянемо слово ${\displaystyle w}$, яке діє на множину ${\displaystyle X_{2}}$. Отримуємо наступний ланцюжок обмежень:

${\displaystyle w(X_{2})\subseteq \prod _{i=1}^{m-1}w_{i}(X_{1})\subseteq \prod _{i=1}^{m-2}w_{i}(X_{\alpha m-1})\subseteq \dots \subseteq w_{1}(X_{\alpha 2})\subseteq X_{1}.}$

За припущенням різні ${\displaystyle X_{i}}$ є неперетинними, тому робимо висновок, що слово ${\displaystyle w}$ діє нетривіально на деякий елемент підмножини ${\displaystyle X_{2}}$. Таким чином, слово ${\displaystyle w}$ представляє нетривіальний елемент групи ${\displaystyle G}$.

Для завершення доведення розглянемо три випадки:

• якщо ${\displaystyle \alpha _{1}=1}$, ${\displaystyle a_{m}\neq 1}$, тоді нехай ${\displaystyle h\in H_{1}\backslash {\big \{}w_{1}^{-1},1{\big \}}}$ (таке ${\displaystyle h}$ існує, оскільки за припущенням ${\displaystyle H_{1}}$ має порядок щонайменше 3);
• якщо ${\displaystyle \alpha _{1}\neq 1}$, ${\displaystyle \alpha _{m}=1}$, тоді нехай ${\displaystyle h\in H_{1}\backslash \{w_{m},1\}}$;
• і якщо ${\displaystyle \alpha _{1}\neq 1}$, ${\displaystyle \alpha _{m}\neq 1}$, тоді нехай ${\displaystyle h\in H_{1}\backslash \{1\}}$.

У кожному з випадків слово ${\displaystyle hwh^{-1}}$ після зведення стає зменшеним словом, у якому перша і остання літера з підгрупи ${\displaystyle H_{1}}$. Отже, слово ${\displaystyle hwh^{-1}}$ представляє нетривіальний елемент із групи ${\displaystyle G}$, так само і слово ${\displaystyle w}$. Це і доводить наше твердження.

Пінг-понг лема для циклічних підгруп

Нехай ${\displaystyle G}$ — група, що діє на множині ${\displaystyle X}$. Нехай ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$, де ${\displaystyle k\geq 2}$, — елементи групи ${\displaystyle G}$ нескінченного порядку. Припустимо, що існують неперетинні непорожні підмножини

${\displaystyle X_{1}^{+},\dots ,X_{k}^{+}\quad {\text{і}}\quad X_{1}^{-},\dots ,X_{k}^{-}}$

множини ${\displaystyle X}$, для яких виконуються наступні умови:

• ${\displaystyle a_{i}(X-X_{i}^{-})\subseteq X_{i}^{+}}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,k,}$
• ${\displaystyle a_{i}^{-1}(X-X_{i}^{+})\subseteq X_{i}^{-}}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,k.}$

Тоді підгрупа ${\displaystyle H=\langle a_{1},\dots ,a_{k}\rangle \leq G}$, що породжена елементами ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$, є вільною з вільним базисом ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{k}\}.}$

Доведення

Це твердження є наслідком пінг-понг леми для загальних підгруп, якщо покладемо ${\displaystyle X_{i}=X_{i}^{+}\cup X_{i}^{-}=}$ і ${\displaystyle H_{i}=\langle a_{i}\rangle .}$

Приклади

Приклад спеціальної лінійної групи

За допомогою пінг-понг леми можна довести,^[1] що підгрупа ${\displaystyle H=\langle A,B\rangle \leq {\rm {SL}}_{2}({\mathbb {Z} })}$, породжена матрицями

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\quad }$ і ${\displaystyle \quad B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}},}$

є вільною групою і має ранг 2.

Доведення

Дійсно, нехай ${\displaystyle H_{1}=\langle A\rangle }$ і ${\displaystyle H_{2}=\langle B\rangle }$ — циклічні підгрупи групи ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}({\mathbb {Z} })}$ породжені матрицями ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ відповідно. Неважко перевірити, що ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ є елементами нескінченного порядку групи ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}({\mathbb {Z} })}$ і те, що

${\displaystyle H_{1}={\begin{Bmatrix}{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}\colon n\in {\mathbb {Z} }\end{Bmatrix}}}$

і

${\displaystyle H_{2}=\{B^{n}\,|\,n\in {\mathbb {Z} }\}={\begin{Bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}\colon n\in {\mathbb {Z} }\end{Bmatrix}}.}$

Розглянемо дію групи ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}({\mathbb {Z} })}$ на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$ за допомогою лінійних перетворень. Покладемо

${\displaystyle X_{1}={\begin{Bmatrix}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in {\mathbb {R} }^{2}\colon |x|>|y|\end{Bmatrix}}}$

і

${\displaystyle X_{2}={\begin{Bmatrix}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in {\mathbb {R} }^{2}\colon |x|<|y|\end{Bmatrix}}.}$

Неважко перевірити, використовуючи наведений вище опис підгрупи ${\displaystyle H_{1}}$ і ${\displaystyle H_{2}}$, що для кожного нетривіального ${\displaystyle g\in H_{1}}$ отримуємо ${\displaystyle g(X_{2})\subseteq X_{1}}$ і ${\displaystyle g(X_{1})\subseteq X_{2}}$ для кожного нетривіального ${\displaystyle g\in H_{2}}$. Використовуючи наведену вище пінг-понг лему для двох циклічних підгруп, робимо висновок, що ${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$. Оскільки підгрупи ${\displaystyle H_{1}}$ і ${\displaystyle H_{2}}$ є нескінченно циклічними, то звідси випливає, що підгрупа ${\displaystyle H}$ є вільною групою рангу 2.

Приклад словесно-гіперблочної групи

Нехай ${\displaystyle G}$ — словесно-гіперболічна група, яка є групою без кручення, тобто, не має нетотожних елементів скінченного порядку. Нехай ${\displaystyle g,h\in G}$ — два некомутативних елемента, тобто таких, що ${\displaystyle gh\neq hg.}$ Тоді існує таке ${\displaystyle M\geq 1}$, що для будь-яких натуральних ${\displaystyle n\geq M}$, ${\displaystyle m\geq M}$ підгрупа ${\displaystyle H\langle g^{n},h^{m}\rangle \leq G}$ є вільною групою рангу 2.

Схема доведення^[6]

Дія групи ${\displaystyle G}$ на її гіперболічній границі ${\displaystyle \partial G}$ є гомеоморфізмом. Відомо, що, якщо ${\displaystyle a}$ в групі ${\displaystyle G}$ є не тотожнім елементом, то ${\displaystyle a}$ має принаймні дві різні нерухомі точки — ${\displaystyle a^{\infty }}$ і ${\displaystyle a^{-\infty }}$, які належать границі ${\displaystyle \partial G}$. Відповідно ${\displaystyle a^{\infty }}$ є притягально нерухомою точкою точкою, а ${\displaystyle a^{-\infty }}$ — відштовхувально нерухомою точкою.

Оскільки елементи ${\displaystyle g}$ і ${\displaystyle h}$ не комутують, то з основних властивостей словесно-гіперболічної групи випливає, що ${\displaystyle g^{\infty }}$, ${\displaystyle g^{-\infty }}$, ${\displaystyle h^{\infty }}$ і ${\displaystyle h^{-\infty }}$є чотирма різними точками границі ${\displaystyle \partial G.}$ Вибираємо неперетинні околи ${\displaystyle U_{+}}$, ${\displaystyle U_{-}}$, ${\displaystyle V_{+}}$ і ${\displaystyle V_{-}}$ відповідно для ${\displaystyle g^{\infty }}$, ${\displaystyle g^{-\infty }}$, ${\displaystyle h^{\infty }}$ і ${\displaystyle h^{-\infty }}$ на границі ${\displaystyle \partial G}$. Тоді з властивостей притягувальних/відштовхувальних нерухомих точок елементів ${\displaystyle g}$ і ${\displaystyle h}$ випливає, що існує таке ${\displaystyle M\geq 1}$, що для будь-яких натуральних ${\displaystyle n\geq M}$, ${\displaystyle m\geq M}$:

• ${\displaystyle g^{n}(\partial G-U_{-})\subseteq U_{+},}$
• ${\displaystyle g^{-n}(\partial G-U_{+})\subseteq U_{-},}$
• ${\displaystyle h^{m}(\partial G-V_{-})\subseteq V_{+},}$
• ${\displaystyle h^{-m}(\partial G-V_{+})\subseteq V_{-}.}$

З пінг-понг леми випливає, що підгрупа ${\displaystyle H=\langle g^{n},h^{m}\rangle \leq G}$ є вільною підгрупою рангу 2.

Застосування пінг-понг леми

• Пінг-понг лема використовується в кляйнівських групах для дослідження так званих підгруп Шоткі^[en]. У контексті кляйнівських груп пінг-понг лему можна використати для того, щоб показати, що особлива група ізометрії гіперболічного тривимірного простору не лише вільна, а також цілком розривна і геометрично скінченна.
• Аналогічні аргументи типу Шоткі широко використовуються в геометричній теорії груп, особливо для підгруп словесно-гіперболічних груп^[6] і для груп автоморфізмів дерев.^[7]
• Пінг-понг лема також використовується для дослідження підгруп типу Шоткі груп класів відображень поверхонь Рімана, де множина, на якій діє група класів відображень, є границею Терстона простору Тайхмюллера.^[8] Аналогічний аргумент також використовується при дослідженні підгруп групи зовнішніх ізоморфізмів^[en] вільної групи.^[9]
• Одним із найвідоміших застосувань пінг-понг леми є доведення Жака Тітса^[en] так званої альтернатива Тітса для лінійних груп.^[2] (Дивись^[10] для огляду доведення Тітса і пояснення використаних ідей, включаючи використання пінг-понг леми).
• Існують узагальнення пінг-понг леми, що породжують не лише вільний добуток, але і також вільні добутки з амальгамацією і HNN розширення^[en].^[3]Ці узагальнення використовуються зазвичай для доведення комбінаційної теореми Маскіта для кляйнівських груп.^[11]
• Також існують версії пінг-понг леми, які гарантують, що декілька елементів групи породжують вільну напівгрупу^[en]. Такі версії використовують як для узагальненої дії групи на множині,^[12] так і для конкретних типів дій, наприклад, в контексті лінійних груп,^[13] дій груп на дерева^[en],^[14] тощо.^[15]

Див. також

• Вільна група
• Вільний добуток
• Кляйнівська група
• Альтернатива Тітса
• Словесно-гіперболічна група
• Група Шоткі^[en]