Альтернатива Фредгольма

Альтернатива Фредгольма — сукупність теорем Фредгольма про розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду.

Наводяться різні формулювання альтернативи. У деяких джерелах під альтернативою Фредгольма розуміють лише першу теорему Фредгольма, яка стверджує, що або неоднорідне рівняння має розв'язок за будь-якого вільного члена, або спряжене (союзне) рівняння має нетривіальний розв'язок^[1]. Альтернатива Фредгольма для інтегральних рівнянь є узагальненням на нескінченновимірний випадок аналогічних теорем у скінченному просторі (для систем лінійних алгебричних рівнянь). Ф. Рісс^[en] узагальнив її на лінійні операторні рівняння з цілком неперервними операторами в банахових просторах^[2].

Скінченновимірний простір

Або рівняння ${\displaystyle {\mathcal {A}}z=u}$ має розв'язок за будь-якої правої частини ${\displaystyle u\in W}$, або спряжене до нього рівняння ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}w=0}$ має нетривіальний розв'язок.

Доведення

Спосіб 1

Нехай ${\displaystyle r=\operatorname {rg} {\mathcal {A}},~m=\operatorname {dim} W}$. Можливі два випадки: або ${\displaystyle r=m}$, або ${\displaystyle r<m}$. Умова ${\displaystyle r=m}$ рівносильна умові ${\displaystyle \operatorname {im} {\mathcal {A}}=W}$ що означає, що рівняння ${\displaystyle {\mathcal {A}}z=u}$ має розв'язок за будь-якого ${\displaystyle u\in W}$. При цьому оскільки ${\displaystyle \operatorname {rg} {\mathcal {A}}=\operatorname {rg} {\mathcal {A}}^{*}}$, то ${\displaystyle \operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}=0}$, і отже, рівняння ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}w=0}$ не має ненульового рішення. Умова ${\displaystyle r<m}$ рівносильна умові ${\displaystyle \operatorname {dim} (\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*})>0}$ що означає існування ненульового вектора ${\displaystyle w\in \operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}}$, тобто ненульового розв'язку ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}w=0}$. При цьому ${\displaystyle \operatorname {im} {\mathcal {A}}\neq W}$ і рівняння ${\displaystyle {\mathcal {A}}z=u}$ має розв'язок не для будь-якого ${\displaystyle u\in W}$.

Спосіб 2

1. Нехай система (1), тобто ${\displaystyle A\cdot X=B}$, має розв'язок за будь-якого ${\displaystyle B}$. В цьому випадку ${\displaystyle \operatorname {rg} A=m}$, тому що інакше за деякого ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {rg} A}$ виявився б меншим за ранг розширеної матриці і система (1) була б несумісною в силу теореми Кронекера — Капеллі. Оскільки ${\displaystyle \operatorname {rg} A^{T}=\operatorname {rg} A}$, то в цих умовах ${\displaystyle \operatorname {rg} A^{T}=m}$, тобто дорівнює числу невідомих у системі (2) і ця система має лише тривіальний розв'язок.
2. Нехай тепер система ${\displaystyle A\cdot X=B}$ за деякого ${\displaystyle B}$ несумісна. Отже ${\displaystyle \operatorname {rg} A<m}$, значить і ${\displaystyle \operatorname {rg} A^{T}<m}$, тобто ранг матриці системи (2) менший від числа невідомих і ця система має ненульовий розв'язок.

У доведенні використано позначення: ${\displaystyle \operatorname {rg} A}$ — ранг матриці ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \operatorname {dim} W}$ — розмірність простору ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle \operatorname {im} {\mathcal {A}}}$ — образ оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle \operatorname {def} {\mathcal {A}}}$ — дефект оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle \operatorname {ker} {\mathcal {A}}}$ — ядро оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle A^{T}}$ — транспонована матриця.

Альтернатива Фредгольма для лінійного оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, що діє в одному просторі ${\displaystyle V}$, означає, що або основне рівняння має єдиний розв'язок за будь-якого ${\displaystyle u\in V}$, або спряжене до нього однорідне рівняння має нетривіальнИЙ розв'язок^[1].

Інтегральні рівняння

Формулювання

Альтернативу Фредгольма формулюють для інтегрального рівняння Фредгольма

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits _{0}^{a}K(x,y)\varphi (y)\,dy+f(x)\qquad (1)}$

з неперервним ядром ${\displaystyle K(x,y)}$ та союзного до нього рівняння

${\displaystyle \psi (x)={\bar {\lambda }}\int \limits _{0}^{a}K^{*}(x,y)\psi (y)\,dy+g(x),\qquad (1')}$

${\displaystyle K^{*}(x,y)={\overline {K(y,x)}}}$. Однорідне рівняння — це рівняння з нульовим вільним членом f або g.

Формулювання 1. Якщо інтегральне рівняння (1) з неперервним ядром можна розв'язати ${\displaystyle C[0,a]}$ за будь-якого вільного члена ${\displaystyle f\in C[0,a]}$, то і союзне до нього рівняння (1') можна розв'язати ${\displaystyle C[0,a]}$ за будь-якого вільного члена ${\displaystyle g\in C[0,a]}$, причому ці розв'язки єдині (перша теорема Фредгольма).

Якщо інтегральне рівняння (1) розв'язне в C[0, a] не за будь-якого вільного члена ${\displaystyle f}$, то:

1) однорідні рівняння (1) і (1') мають однакове (скінченне) число лінійно незалежних розв'язків (друга теорема Фредгольма);

2) для розв'язності рівняння (1) необхідно і достатньо, щоб вільний член ${\displaystyle f}$ був ортогональним до всіх розв'язків союзного однорідного рівняння (1') (третя теорема Фредгольма)^[3].

Формулювання 2. Якщо однорідне інтегральне рівняння Фредгольма має лише тривіальний розв'язок, то відповідне неоднорідне рівняння має один і лише один розв'язок. Якщо однорідне рівняння має деякий нетривіальний розв'язок, то неоднорідне інтегральне рівняння або зовсім не має розв'язку, або має нескінченну кількість розв'язків залежно від заданої функції ${\displaystyle f(x)}$^[4][5].

Ідея доведення

Вироджене ядро

Інтегральне рівняння Фредгольма (1) з виродженим ядром вигляду

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{i=1}^{N}f_{i}(x)g_{i}(y)}$

можна переписати у вигляді

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \sum \limits _{i=1}^{N}c_{i}f_{i}(x)+f(x),}$

де

${\displaystyle c_{i}=\int \limits _{0}^{a}\varphi (y)g_{i}(y)\,dy}$

— невідомі числа. Помноживши отриману рівність на ${\displaystyle g_{k}(x)}$ та проінтегрувавши за відрізком ${\displaystyle [0,a]}$, рівняння з виродженим ядром зведемо до еквівалентної йому системи лінійних алгебричних рівнянь відносно невідомих ${\displaystyle (c_{1},c_{2},\dots ,c_{N})}$:

${\displaystyle c_{k}=\lambda \sum _{i=1}^{N}\alpha _{ki}c_{i}+a_{k},}$

де

${\displaystyle \alpha _{ki}=\int \limits _{0}^{a}g_{k}(x)f_{i}(x)\,dx,\quad a_{k}=\int \limits _{0}^{a}g_{k}(x)f(x)\,dx.}$

Тому альтернатива Фредгольма безпосередньо випливає зі скінченновимірного випадку^[6].

Довільне неперервне ядро

У загальному випадку доведення альтернативи Фредгольма для інтегральних рівнянь ґрунтується на поданні довільного неперервного ядра як

${\displaystyle K(x,y)=P(x,y)+Q(x,y),}$

де ${\displaystyle P(x,y)}$ — вироджене ядро (многочлен) і ${\displaystyle Q(x,y)}$ — мале неперервне ядро, ${\displaystyle |Q(x,y)|<\varepsilon ,\,0\leq x\leq a}$. Тоді рівняння (1) набуває вигляду

${\displaystyle \varphi =\lambda P\varphi +\lambda Q\varphi +f,}$

де ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$ — інтегральні оператори з ядрами ${\displaystyle P(x,y)}$ і ${\displaystyle Q(x,y)}$ відповідно.

Введемо невідому функцію ${\displaystyle \Phi (x)}$ за формулою

${\displaystyle \Phi =\varphi -\lambda Q\varphi }$.

При ${\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}}$ функція ${\displaystyle \varphi }$ однозначно виражається через ${\displaystyle \Phi }$ за формулою

${\displaystyle \varphi =(I-\lambda Q)^{-1}\Phi =(I+\lambda R)\Phi ,}$

де ${\displaystyle I}$ — одиничний оператор, ${\displaystyle R}$ — інтегральний оператор з ядром ${\displaystyle R(x,y,\lambda )}$ — резольвентою ядра ${\displaystyle Q(x,y)}$. Тоді початкове рівняння набуває вигляду

${\displaystyle \Phi =\lambda T\Phi +f,}$

де

${\displaystyle T=P+\lambda PR}$

- Інтегральний оператор із виродженим ядром

${\displaystyle T(x,y,\lambda )=P(x,y)+\lambda \int \limits _{0}^{a}P(x,\xi )R(\xi ,y,\lambda )d\xi ,}$

аналітичним за ${\displaystyle \lambda }$ у крузі ${\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}}$. Аналогічно союзне інтегральне рівняння (1') зводиться до вигляду

${\displaystyle \psi ={\bar {\lambda }}T^{*}\psi +g_{1}.}$

Таким чином, рівняння (1) та (1') еквівалентні у крузі ${\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}}$ рівнянням із виродженими ядрами, що дозволяє вивести альтернативу Фредгольма для загального випадку^[6].

Наслідки

• Множина характеристичних чисел неперервного ядра не має скінченних граничних точок і, отже, лише зліченна. Справді, у кожному крузі ${\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}}$ характеристичні числа ядра ${\displaystyle K(x,y)}$ збігаються з характеристичними числами виродженого ядра, які є нулями аналітичної функції.
• Кожне характеристичне число має скінченну кратність (число лінійно незалежних власних функцій), що випливає з другої теореми Фредгольма. Характеристичні числа можна пронумерувати в порядку зростання їх модулів:

${\displaystyle |\lambda _{1}|\leq |\lambda _{2}|\leq \dots ,}$

повторюючи в цій послідовності ${\displaystyle \lambda _{k}}$ стільки разів, яка його кратність.

• Якщо ${\displaystyle \lambda _{0}}$ — характеристичне число ядра ${\displaystyle K(x,y)}$, то ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{0}}$ — характеристичне число ядра ${\displaystyle K^{*}(x,y)}$, причому вони мають однакову кратність.
• Власні функції ${\displaystyle \varphi _{k}}$ і ${\displaystyle \psi _{i}}$ ядер ${\displaystyle K(x,y)}$ і ${\displaystyle K^{*}(x,y)}$, що відповідають характеристичним числам ${\displaystyle \lambda _{k}}$ і ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{i}}$ відповідно, причому ${\displaystyle \lambda _{k}\neq \lambda _{i}}$, ортогональні: ${\displaystyle (\varphi _{k},\psi _{i})=0}$.

Використовуючи ці властивості, можна переформулювати альтернативу Фредгольма в термінах характеристичних чисел та власних функцій:

• Якщо ${\displaystyle \lambda \neq \lambda _{k},\,k=1,2,\dots }$, то інтегральні рівняння (1) і (1') однозначно розв'язні за будь-яких вільних членів.
• Якщо ${\displaystyle \lambda =\lambda _{k}}$, то однорідні рівняння

${\displaystyle \varphi =\lambda _{k}K\varphi ,\quad \psi ={\bar {\lambda }}_{k}K^{*}\psi ,}$

мають однакове (скінченне) число ${\displaystyle r_{k}\geq 1}$ лінійно незалежних розв'язків — власних функцій ${\displaystyle \varphi _{k},\varphi _{k+1},\dots ,\varphi _{k+r_{k}-1}}$ ядра ${\displaystyle K(x,y)}$ та власних функцій ${\displaystyle \psi _{k},\psi _{k+1},\dots ,\psi _{r_{k}-1}}$ ядра ${\displaystyle K^{*}(x,y)}$.

• Якщо ${\displaystyle \lambda =\lambda _{k}}$, то для розв'язності рівняння (1) необхідно і достатньо, щоб

${\displaystyle (f,\psi _{k+i})=0,\quad i=0,1,r_{k}-1.}$^[6]

Банахів простір

Дано рівняння

${\displaystyle Ax-x=y,\quad (2)}$

${\displaystyle A^{*}f-f=g,\quad (2')}$

де ${\displaystyle A}$ — цілком неперервний оператор, що діє в банаховому просторі ${\displaystyle E}$, а ${\displaystyle A^{*}}$ — спряжений оператор, що діє у спряженому просторі ${\displaystyle E^{*}}$. Тоді або рівняння (2) і (2') розв'язні за будь-яких правих частинах, і в цьому випадку однорідні рівняння

${\displaystyle Ax-x=0}$

${\displaystyle A^{*}f-f=0}$

мають лише нульові розв'язки, або однорідні рівняння мають однакову кількість лінійно незалежних розв'язків

${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n};\quad f_{1},f_{2},\dots ,f_{n};}$

у цьому випадку, щоб рівняння (2) (відповідно (2')) мало розв'язок, необхідно і достатньо, щоб

${\displaystyle f_{i}(y)=0,\quad i=1,2,\dots ,n}$

(відповідно ${\displaystyle g(x_{i})=0,\,i=1,2,\dots ,n}$)^[7].

Застосування до розв'язання крайових задач для еліптичних рівнянь

Див. також: Крайова задача та Диференціальне рівняння еліптичного типу

Метод Неймана розв'язання задачі Діріхле

${\displaystyle \Delta u(x)=0,\quad x\in G,\quad u(s)=g(s),\quad s\in C}$

полягає в тому, що розв'язок ${\displaystyle u}$ шукають у вигляді

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{C}\mu (t){\frac {\partial }{\partial n_{t}}}\log {\frac {1}{r_{xt}}}dt,}$

тобто у вигляді потенціалу подвійного шару. Тут ${\displaystyle G}$ — плоска ділянка, ${\displaystyle C}$ — замкнута крива, що обмежує її і має неперервну кривину, ${\displaystyle r_{xt}}$ — відстань від точки ${\displaystyle x}$ до точки ${\displaystyle t}$ на контурі ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle n_{t}}$ — внутрішня нормаль до ${\displaystyle C}$ у точці ${\displaystyle t}$. Функція ${\displaystyle \mu }$ має задовольняти інтегральне рівняння

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}g(s)=\mu (s)+\int \limits _{C}K(s,t)\mu (t)\,dt}$

з неперервним ядром

${\displaystyle K(s,t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\partial }{\partial n_{t}}}\log {\frac {1}{r_{xt}}}dt.}$

Згідно з альтернативою Фредгольма, або це неоднорідне рівняння має розв'язок ${\displaystyle \mu (s)}$ за будь-якого вибору неперервної функції ${\displaystyle g(s)}$, або однорідне рівняння

${\displaystyle \nu (s)+\int \limits _{C}K(s,t)\mu (t)\,dt=0}$

допускає ненульовий розв'язок ${\displaystyle \nu (s)}$. Останнє неможливе, це можна показати за допомогою принципу максимуму для гармонічних функцій. Отже, внутрішня задача Діріхле має розв'язок за будь-яких неперервних граничних значень ${\displaystyle g(s)}$. Аналогічні результати отримано для зовнішньої задачі Діріхле, а також для задачі Неймана^[8].

Див. також

• Інтегральне рівняння
• Теорія Фредгольма
• Цілком неперервний оператор
• Ядро інтегрального оператора