Бета-негативний біноміальний розподіл

У теорії ймовірностей бета-негативний біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей дискретної випадкової величини ${\displaystyle X}$, що дорівнює кількості відмов, необхідних для отримання ${\displaystyle r}$ успіхів в серії незалежних випробувань Бернуллі. Ймовірність ${\displaystyle p}$ успіху в кожному випробуванні залишається незмінним у межах будь-якого експерименту, але змінюється в різних експериментах згідно бета-розподілу. Отже, розподіл є складеним розподілом ймовірностей.

Beta Negative Binomial
Параметри	${\displaystyle \alpha >0}$ форма (дійсний) ${\displaystyle \beta >0}$ дійсний (real) ${\displaystyle r>0}$ — число успіхів до зупинки експерименту (ціле, але можна розширити на дійсні числа)
Носій функції	${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}$
Середнє	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {r\beta }{\alpha -1}}&{\text{якщо}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{інакше}}\ \end{cases}}}$
Дисперсія	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {r(\alpha +r-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{(\alpha -2){(\alpha -1)}^{2}}}&{\text{якщо}}\ \alpha >2\\\infty &{\text{інакше}}\ \end{cases}}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(\alpha +2r-1)(\alpha +2\beta -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {r(\alpha +r-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{якщо}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{інакше}}\ \end{cases}}}$
Твірна функція моментів (mgf)	не існує
Характеристична функція	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta +r)\Gamma (\alpha )}}{}_{2}F_{1}(r,\beta$ ;\alpha +\beta +r;e^{it})\!} де ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функція і ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ — гіпергеометрична функція.

Цей розподіл також називають зворотним розподілом Маркова-Пойя та узагальненим розподілом Варінга^[1]. Зміщену форму розподілу називають бета-розподілом Паскаля^[1].

Якщо параметри бета-розподілу є ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$, і якщо

${\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB} (r,p),}$

де

${\displaystyle p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),}$

тоді граничний розподіл ${\displaystyle X}$ має бета-негативний біноміальний розподіл:

${\displaystyle X\sim \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta ).}$

У наведеному вище, ${\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)}$ є від’ємним біноміальним розподілом і ${\displaystyle {\textrm {B}}(\alpha ,\beta )}$ є бета-розподіл.

Означення

Якщо ${\displaystyle r}$ — ціле число, тоді функцію ймовірностей можна записати через бета-функцію:

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$ .

Узагальнюючи можна записати

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$

або

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}$ .

Функція ймовірностей, виражена через гамма функцію

Використовуючи властивості бета-функції, функція ймовірності для цілого ${\displaystyle r}$ можна переписати наступним чином:

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$ .

У більш загальному вигляді можна записати

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$ .

Вираження через символи Похамера

Функція ймовірностей часто також можна подати в термінах символів Похамера для цілого числа ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {r^{(k)}\alpha ^{(r)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(r+k)}}}}$

Властивості

Неідентифіковність

Бета-негативний біноміальний розподіл є неідентифіковним, що можна легко помітити, просто міняючи місцями ${\displaystyle r}$ і ${\displaystyle \beta }$ у наведеній вище функції ймовірності чи характеристичній функції та відзначити, що вони незмінюються. Отже, оцінка вимагає встановлення обмежень на котрийсь з параметрів ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \beta }$ або й на обидва.

Зв'язок з іншими розподілами

Бета-негативний біноміальний розподіл містить бета-геометричний розподіл як окремий випадок, коли ${\displaystyle r=1}$ . Тому він може як завгодно добре апроксимувати геометричний розподіл. Він також дуже добре апроксимує негативний біноміальний розподіл для великих ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$. Тому він може як завгодно добре апроксимувати розподіл Пуассона для великих ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ і ${\displaystyle r}$.

Важкохвостий

За допомогою наближення Стірлінга бета-функції можна легко показати, що для великих ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)\sim {\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (r)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {k^{r-1}}{(\beta +k)^{r+\alpha }}}}$

це означає, що бета-негативний біноміальний розподіл має важкі хвости і що моменти менші або рівні ${\displaystyle \alpha }$ не існують.

Бета-геометричний розподіл

Бета-геометричний розподіл є важливим окремим випадком бета-негативного біноміального розподілу, що виникає при ${\displaystyle r=1}$. У цьому випадку функція ймовірності спрощується до

${\displaystyle f(k|\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} (\alpha +1,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

Цей розподіл використовується в моделях Buy Till You Die (BTYD).

Далі, коли ${\displaystyle \beta =1}$ бета-геометричний розподіл зводиться до розподілу Юля-Саймона. Однак більш поширеним є означення розподілу Юля-Саймона в термінах зміщеної версії бета-геометричного розподілу. Зокрема, якщо ${\displaystyle X\sim BG(\alpha ,1)}$ потім ${\displaystyle X+1\sim YS(\alpha )}$.

Див. також

• Негативний біноміальний розподіл
• Негативний мультиноміальний розподіл Діріхле