Геометричний розподіл

В теорії імовірностей і статистиці геометричний розподіл визначається як будь-який з двох розподілів ймовірностей:

• дискретна випадкова величина X має геометричний розподіл з параметром p , якщо вона збігається з кількістю випробувань до першого успіху в нескінченній послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху в одному випробуванні.

  ${\displaystyle \Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p\,}$

  де k = 1, 2, 3, ....

• величина Y = X − 1 , що дорівнює кількості неуспіхів до першого успіху.

  ${\displaystyle \Pr(Y=k)=(1-p)^{k}\,p\,}$

  де k = 0, 1, 2, 3, ....

Геометричний
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle 0<p\leq 1}$ ймовірність успіху (дійсне число)
Носій функції	k спроб, де ${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle (1-p)^{k-1}p}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle 1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor }}$ for ${\displaystyle x\geq 1}$, ${\displaystyle 0}$ для ${\displaystyle x<1}$
Середнє	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$
Медіана	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil }$ (не єдина якщо ${\displaystyle -1/\log _{2}(1-p)}$ це ціле число)
Мода	${\displaystyle 1}$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}}$
Ентропія	${\displaystyle {\tfrac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}},}$ для ${\displaystyle t<-\ln(1-p)}$
Характеристична функція	${\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}}$
Інформація за Фішером	${\displaystyle {\tfrac {1}{p^{2}\cdot (1-p)}}}$

Який з цих розподілів називати геометричним питання згоди і зручності. Ці два різні геометричні розподіли не можна плутати один з одним. Очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини X є 1/p і її похибка (1 − p)/p²:

${\displaystyle \mathrm {E} (X)={\frac {1}{p}},\qquad \mathrm {var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.}$

Так само очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини Y є ${\displaystyle (1-p)/p}$, і її похибка ${\displaystyle (1-p)/p^{2}}$:

${\displaystyle \mathrm {E} (Y)={\frac {1-p}{p}},\qquad \mathrm {var} (Y)={\frac {1-p}{p^{2}}}.}$

Оцінка параметра

Для обох варіантів геометричного розподілу параметр p може оцінюватися через порівняння очікуваної величини. Це метод моментів, який у цьому випадку проводить оцінки максимальної ймовірності p. Припустимо, для першого варіанту ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$, коли ${\displaystyle k_{i}\geqslant 1}$ для ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$. Тоді p має такі оцінки

${\displaystyle {\widehat {p}}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)^{-1}.\!}$

${\displaystyle p\sim \mathrm {Beta} \left(\alpha +n,\ \beta +\sum _{i=1}^{n}(k_{i}-1)\right).\!}$.

${\displaystyle {\widehat {p}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)^{-1}.\!}$

${\displaystyle p\sim \mathrm {Beta} \left(\alpha +n,\ \beta +\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right).\!}$

Інші властивості

Функція імовірності X і Y , відповідно,

• ${\displaystyle G_{X}(s)={\frac {s\,p}{1-s\,(1-p)}},\!}$

  ${\displaystyle G_{Y}(s)={\frac {p}{1-s\,(1-p)}},\quad |s|<(1-p)^{-1}.\!}$

• Подібно неперервному аналогу (показниковий розподіл) , геометричний розподіл має властивість відсутності пам'яті. Це означає, що кількість попередніх "невдач" не впливає на кількість наступних "невдач".Таким чином геометричний розподіл - це єдиний дискретний розподіл з такою властивістю.
• Серед всіх дискретних ймовірних розподілів на {1, 2, 3, ... } з даною очікуваною величиною μ геометричний розподіл X з параметром p = 1/μ є одним

Геометричний розподіл числа Y невдач перед першим успіхом є нескінченно ділимим,для будь-якого додатнього цілого n, існують незалежні тотожньо розподілені випадкові величини Y₁, ..., Y_n сума яких має такий самий розподіл як і Y

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)