Вагова функція

Вагова функція — спеціальна математична конструкція, яка використовується при підсумовуванні, інтегруванні чи усередненні, щоб надати більшої «ваги» певним елементам в кінцевому результаті порівняно з іншими елементами^[1]. Потреба у введені таких функцій часто виникає в статистиці та математичному аналізі. Поняття вагової функції тісно пов'язане з теорією міри. Вагові функції можуть використовуватись як із дискретними, так і з неперервними величинами.

Дискретний випадок

Дискретна вагова функція ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+}}$ — невід'ємна функція, визначена на дискретній множині значень ${\displaystyle A}$, яка зазвичай скінченна або зліченна. Одинична вагова функція ${\displaystyle w(a):=1}$ відповідає звичайному, незваженому випадку, коли всі елементи мають однакову вагу.

Нехай задано деякий набір дійсних значень, які занумеровані елементами множини ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \{f(a),a\in A\}.}$

Тоді звичайна незважена сума елементів ${\displaystyle f(a)}$ по множині ${\displaystyle A}$ визначається як

${\displaystyle S=\sum _{a\in A}f(a).}$

У зваженій сумі з вагою ${\displaystyle w}$, ми кожному елементу ${\displaystyle f(a)}$ надаємо відповідну вагу ${\displaystyle w(a)}$, домножуючи його на значення ваги, і тоді зважена сума визначається таким чином:

${\displaystyle S_{w}=\sum _{a\in A}f(a)w(a).}$

Незваженим середнім значенням по скінченній множині ${\displaystyle A}$ називається сума вигляду

${\displaystyle {\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)}$,

де ${\displaystyle |A|}$ — потужність множини ${\displaystyle A}$, тобто кількість її елементів.

У зваженому середньому потужність ${\displaystyle |A|}$ замінюють на зважену потужність, суму ваг всіх елементів

${\displaystyle \sum _{a\in A}w(a).}$

Зважене середнє арифметичне у такому випадку визначається як

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.}$

Застосування

Термін вагова функція виник з механіки: при обчисленні цента мас системи з ${\displaystyle n}$ точкових тіл з масами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$, центри мас яких розміщенні в точках з координатами ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$ центр мас системи буде розміщений в точці з координатами

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$,

яку можна інтерпретувати як середнє зважене координат ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$.

Найпоширеніші області застосування зважених сум — чисельне інтегрування та цифрова фільтрація сигналів.

Зважені суми використовуються у задачах багатокритеріальної оптимізації для переходу від декількох часткових критеріїв оптимальності до єдиного інтегрального критерію, який часто є зваженою сумою часткових критеріїв^[2].

Також широко застосовуються у економіко-математичних методах аналізу даних та задачах машинного навчання.

Зважене середнє часто використовується у статистиці для компенсації похибок в оцінках. Нехай, для істинного значення ${\displaystyle f}$, отримано незалежно один від одного декілька значень ${\displaystyle f_{i}}$ з дисперсіями ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$, тоді найкраще наближення істинного значення отримуємо як середнє зважене часткових результатів з вагами ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}$: дисперсія так отриманого наближення буде меншою за кожну з часткових дисперсій ${\displaystyle \sigma ^{2}=1/\sum w_{i}}$. Також застосовується в методі максимальної правдоподібності.

Неперервний випадок

У випадку неперервних величин, вагова функція — міра ${\displaystyle w(x)dx}$ задана в деякій області ${\displaystyle \Omega }$. Міру, в певному сенсі, можна вважати узагальненням поняття вагової функції.

У випадку якщо ${\displaystyle \Omega }$ є підмножиною евклідового простору ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$, то під ${\displaystyle dx}$ розуміють міру Лебега на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$, а ${\displaystyle w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+}}$ — невід'ємна функція. В даному контексті вагова функція ${\displaystyle w(x)}$ часто розуміється як густина.

Нехай ${\displaystyle f:\Omega \to {\mathbb {R} }}$ — дійснозначна функція, то окрім незваженого інтеграла

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ dx}$

можна розглядати зважений інтеграл

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx.}$

Оскільки за означенням інтеграл

${\displaystyle \mathrm {vol} (E):=\int _{E}1\ dx,\quad E\subset \Omega ,}$

виступає як об'єм множини ${\displaystyle E}$, то можна ввести поняття зваженого об'єму

${\displaystyle \mathrm {vol} _{w}(E):=\int _{E}w(x)\ dx}$

та, відповідно, зваженого середнього значення функції ${\displaystyle f}$ по множині ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle {\frac {\int _{\Omega }f(x)\ w(x)dx}{\int _{\Omega }w(x)\ dx}}={\frac {1}{\mathrm {vol} _{w}(E)}}\int _{\Omega }f(x)w(x)dx.}$

Введення вагової функції дозволяє узагальнити поняття інтеграла, як границі відповідної зваженої суми. Такі узагальнення інтеграла часто використовують у статистиці, теорії випадкових процесів, теорії стохастичних диференціальних рівнянь.

У випадку, коли міра є дискретною, ми отримуємо попередній дискретний випадок — всі інтеграли замінюються підсумовуванням.

Скалярний добуток

Нехай ${\displaystyle f:\Omega \to {\mathbb {R} }}$ та ${\displaystyle g:\Omega \to {\mathbb {R} }}$ — дві задані функції. Тоді крім звичайного скалярного добутку

${\displaystyle \langle f,g\rangle$ :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx}

можна розглядати зважений скалярний добуток^[3]

${\displaystyle \langle f,g\rangle$ :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)dx.}

Прикладами зважених ортогональних функцій (у просторі ${\displaystyle L^{2}}$) є ортогональні поліноми і пов'язані з ними функції, а також ряд інших спеціальних функцій.

Див. також

• Центр мас
• Ортогональність
• Середнє зважене
• Ядро (статистика)
• Теорія міри
• Інтеграл Стілтьєса