Гранування (геометрія)

У геометрії гранування — процес видалення частини многокутника або многогранника без утворення нових вершин.

Зірчастий октаедр як результат гранування куба

Гранування є оберненим або двоїстим до ззірчення: для кожної зірчастої форми деякого опуклого многогранника існує двоїсте гранування двоїстого многогранника.

Ограновані багатокутники

Наприклад, правильний п'ятикутник має одне симетричне гранування, пентаграму, а правильний шестикутник — два симетричні гранування: одне з них — многокутник, а інше — з'єднання двох трикутників.

Опуклі
Правильний п'ятикутник {5}	Правильний шестикутник {6}
Правильні	Квазіправильні	Правильні з'єднання
Пентаграма {5/2}	Зірчастий шестикутник	Гексаграма {6/2}

Ограновані багатогранники

Правильний ікосаедр можна огранувати до трьох правильних многогранників Кеплера — Пуансо — малого зірчастого додекаедра, великого додекаедра і великого ікосаедра. Вони мають 30 ребер.

Опуклі	Правильні зірки
Ікосаедр	Великий додекаедр	Малий зірчастий додекаедр	Великий ікосаедр

Правильний додекаедр можна огранувати до одного правильного многогранника Кеплера — Пуансо, трьох однорідних зірчастих многогранників і трьох з'єднань многогранників. Однорідні зірки і з'єднання п'яти кубів^[en] будуються на діагоналях граней^[en]. Виїмчастий додекаедр^[en] є огрануванням із зірчастими октаграмними гранями.

Опуклі	Правильні зірки	Однорідні зірки			Вершинно-транзитивні
Додекаедр	Великий зірчастий додекаедр	Малий бітригональний ікосододекаедр[en]	Бітригональний додекаедр[en]	Великий бітригональний ікосододекаедр[en]	Виїмчастий додекаедр[en]

Опуклі	Правильні з'єднання
Додекаедр	П'ять тетраедрів	П'ять кубів[en]	десять тетраедрів[en]

Історія

Гранування вивчалося не настільки інтенсивно, як ззірчення.

• 1619 року Кеплер описав правильне з'єднання двох тетраедрів, укладених в куб, яке назвав Stella octangula. Схоже, це перший відомий приклад гранування.
• 1858 року Бертран отримав правильні зірчасті многогранники (тіла Кеплера — Пуансо), огранувавши правильні опуклі ікосаедр і додекаедр.
• 1974 року Бридж перерахував кілька огранувань правильних многогранників, зокрема, огранування додекаедра.
• 2006 року Інчибальд описав базову теорію діаграм гранування для многогранників. Для заданої вершини діаграма показує можливі ребра і фасети (нові грані), які можна використати для гранування початкової оболонки. Ця діаграма двоїста діаграмі ззірчення двоїстого многогранника, яка показує всі можливі ребра та вершини для деякої площини грані початкового ядра.