Вершина (геометрія)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Вершина.

В геометрії вершина — особливий вид точки, яка описує кут або перетин геометричних фігур.

Визначення

Як кута

Вершиною кута називається точка, з якої два відрізки або промені виходять разом.

Вершиною кута є точка, з якої два промені або відрізки починаються, в якій зустрічаються або перетинаються (перетин).^[1]

Як багатогранника

Вершина — кутова точка багатокутника, багатогранника, або іншого багатовимірного політопа, утвореного перетином ребер або граней об'єкта.^[1]

У багатокутника вершина називається «опуклою», якщо внутрішній кут багатокутника, тобто кут, утворений двома ребрами при вершині, з багатокутником всередині кута, менше, ніж π радіан (180°, два прямих кути); в іншому випадку вершина називається «увігнутою» або «рефлексом».^[2] В цілому, вершина багатогранника або політопу опукла, якщо перетин багатогранника або політопу з досить малою сферою з центром у вершині опуклий, та увігнута в протилежному випадку.

Вершини багатогранника пов'язані з вершинами графів так, що 1-кістяк багатогранника є граф, вершини якого відповідають вершинам багатогранника,^[3] і тому граф можна розглядати як одновимірний симпліційний комплекс, вершини якого є вершинами графу. Однак у теорії графів вершини можуть мати менше два інцидентних ребра, що, як правило, не дозволено для геометричних вершин. Існує також зв'язок між геометричними вершинами і вершинами кривої, її точок екстремальної кривини: в якомусь сенсі вершини багатокутника є точками нескінченної кривини, і якщо багатокутник наближається до гладкої кривої, вершиною буде точка екстремальної кривини поблизу кожного багатокутника.^[4] Однак гладка крива, наближена до багатокутника, буде також мати додаткові вершини в точках, де кривина мінімальна.

Як плоскої плитки

Вершиною плоскої плитки або мозаїки є точка, де три або більше плиток стикаються;^[5] в цілому, але не завжди, плитки теселяції є багатокутниками та вершинами мозаїки є також вершини її плиток. В цілому, теселяції можна розглядати як свого роду топологічний клітинний комплекс, так само як грані багатогранника або політопа; вершинами інших видів комплексів, таких як симпліційні комплекси, є його нуль-вимірні грані.

Головна вершина

Вершина B — вухо, тому що інтервал між С і D повністю знаходиться всередині полігону. Вершина С — рот, тому що відкритий відрізок між А і В повністю знаходиться зовні багатокутника.

Вершина x_i простого багатокутника Р є головною вершиною багатокутника, якщо діагональ [x_(i−1),x_(i+1)] перетинає границю Р тільки в точках x_(i−1) та x_(i+1). Існують два типи головних вершин: вухо і рот.^[6]

Вухо

Кажуть, що головна вершина x_i простого багатокутника P — вухо, якщо діагональ [x_(i−1),x_(i+1)], що відсікає x_i, цілком лежить в P. (див. також опуклий многокутник) Теорема про два вуха стверджує, що кожен простий багатокутник має два вуха.^[7]

Рот

Кажуть, що головна вершина x_i простого багатокутника P — рот, якщо діагональ [x_(i−1),x_(i+1)] лежить зовні Р.

Кількість вершин багатогранника

Поверхня будь-якого опуклого багатогранника має ейлерову характеристику

${\displaystyle V-E+F=2,}$

де V — число вершин, E — число ребер, і F — число граней. Це рівняння відоме як формула Ейлера для багатогранника. Таким чином, число вершин на дві більше, ніж перевищення кількості ребер над числом граней. Наприклад, куб має 12 ребер, 6 граней і, отже, 8 вершин.

Вершини в комп'ютерній графіці

У комп'ютерній графіці об'єкти часто подаються як триангульовані багатогранники, в яких об'єкт вершини^[en] є пов'язаним не тільки з трьома просторовими координатами, але і з іншою графічною інформацією, необхідною для коректного відображення об'єкта, такою як кольори, властивості відображення, текстури і нормалі у вершинах^[en];^[8] ці властивості використовуються при поданні вершинних шейдерів та обробки вершин^[en].

Див. також

• Вершинна фігура