Похідна композиції функцій

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Ланцюгове правило (значення).

Ланцюгове правило (правило диференціювання складеної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.

Якщо функція f має похідну в точці ${\displaystyle x_{0}}$, а функція g має похідну в точці ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$, тоді складена функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці ${\displaystyle x_{0}}$.

Оператор \ Функція	${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f(x,y,u(x,y),v(x,y))}$
Диференціал	1: ${\displaystyle \operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x}$	2: ${\displaystyle \operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x}$ 3: ${\displaystyle \operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v}$
Часткова похідна	${\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}}$	${\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}}$
Повна похідна	${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)}$

Одновимірний випадок

Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій, ${\displaystyle f:U(x_{0})\to V(y_{0}),}$ де ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}$ і ${\displaystyle g:V(y_{0})\to \mathbb {R} }$ Нехай також ці функції диференційовані: ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).}$ Тоді їх композиція також диференційована: ${\displaystyle h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),}$ і її похідна має вигляд:

${\displaystyle h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).}$

Зауваження

У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції ${\displaystyle y=y(x),}$ де ${\displaystyle x=x(t),}$ набуває такого вигляду:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.}$

Інваріантність форми першого диференціала

Диференціал функції ${\displaystyle z=g(y)}$ в точці ${\displaystyle y_{0}}$ має вигляд:

${\displaystyle dz=g'(y_{0})\,dy,}$

де ${\displaystyle dy}$ — диференціал тотожного відображення ${\displaystyle y\to y}$:

${\displaystyle dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .}$

Нехай тепер ${\displaystyle y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}).}$ Тоді ${\displaystyle dy=f'(x_{0})\,dx}$, і згідно з ланцюговомим правилом:

${\displaystyle dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.}$

Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.

Приклад

Нехай ${\displaystyle h(x)=(3x^{2}-5x)^{7}.}$ Тоді функція ${\displaystyle h}$ може бути записана у вигляді композиції ${\displaystyle h=g\circ f,}$ де

${\displaystyle f(x)=3x^{2}-5x,\;g(y)=y^{7}.}$

Диференціюємо ці функції окремо:

${\displaystyle f'(x)=6x-5,\;g'(y)=7y^{6},}$

отримуємо

${\displaystyle h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).}$

Багатовимірний випадок

Нехай дані функції ${\displaystyle f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},}$ де ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}$ і ${\displaystyle g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.}$ Нехай також ці функції диференційовані: ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$ і ${\displaystyle g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).}$ Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд

${\displaystyle dh(x_{0})=dg(y_{0})*df(x_{0}).}$

Зокрема, матриця Якобі функції ${\displaystyle h}$ є добутком матриць Якобі функцій ${\displaystyle g}$ і ${\displaystyle f:}$

${\displaystyle {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.}$

Наслідки

• Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:

  ${\displaystyle \left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}\right\vert .}$

Для часткових похідних складеної функції справедливо

• ${\displaystyle {\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_{0})}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots m.}$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 550+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)