Диференціювання тригонометричних функцій

Похідні прямих тригонометричних функцій знаходяться з правил диференціювання та тригонометричних тотожностей.

Похідні обернених тригонометричних функцій знаходяться із похідних прямих тригонометричних функцій використовуючи диференціювання неявної функції.

Основні формули

Прямих	Обернених
${\displaystyle \left(\sin x\right)'=\cos x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcsin} x\right)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \left(\cos x\right)'=-\sin x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arccos} x\right)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \left(\operatorname {tg} x\right)'={1 \over \cos ^{2}x}=1+\operatorname {tg} ^{2}x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arctg} x\right)'={1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle \left(\operatorname {ctg} x\right)'={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\operatorname {ctg} ^{2}x)}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcctg} x\right)'={-1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle \left(\sec x\right)'={\sin x \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} x\sec x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcsec} x\right)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle \left(\operatorname {cosec} x\right)'=-{\cos x \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} x\operatorname {cosec} x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arccosec} x\right)'={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Виведення формул

Деякі тригонометричні границі

Коло з центром в точці O і радіусом 1

Якщо в одиничному колі величина ${\displaystyle \angle AOB}$ дорівнює ${\displaystyle \theta }$, то:

• площа трикутника AOB дорівнює ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sin \theta }$;
• площа кругового сектора AOB дорівнює ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\theta }$;
• площа трикутника AOC дорівнює ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {tg} \theta }$.

Оскільки кожна наступна фігура більша за попередню, то:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sin \theta <{\frac {1}{2}}\theta <{\frac {1}{2}}\tan \theta }$.

Оскільки sin θ > 0 можемо поділити на 1/2 sin θ і розвернути формули:

${\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies \cos \theta <{\frac {\sin \theta }{\theta }}<1}$.

Спрямувавши θ до +0 отримаємо:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1}$.

Для від'ємних значень θ використаємо непарність функцій:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.}$

Ще одна необхідна нам границя:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0}$.

Похідна sin x

Згідно означення похідної:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.}$

Використаємо формулу додавання кутів:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right)={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =1\cdot \cos \theta +0\cdot \sin \theta =\cos \theta }$.

Похідна cos x

Формулу можна вивести безпосередньо або як похідну композиції функцій (ланцюгове правило):

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta .}$.

Похідна tg x та ctg x

Формулу можна вивести безпосередньо або як похідну частки:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\operatorname {tg} \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}}$.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\operatorname {ctg} \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\left(\cos \theta \right)^{\prime }\cdot \sin \theta -\cos \theta \cdot \left(\sin \theta \right)^{\prime }}{\sin ^{2}\theta }}={\frac {-\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}={\frac {-1}{\sin ^{2}\theta }}}$.

Похідна arcsin x

Нехай ${\displaystyle y=\arcsin x\,\!}$, де ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$. Продиференціюємо ${\displaystyle \sin y=x}$ по x:

${\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}$

${\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}$

Підставимо в неї ${\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}$, а потім ${\displaystyle x=\sin y}$:

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.

Похідна arccos x

Нехай ${\displaystyle y=\arccos x}$, де ${\displaystyle 0\leq y\leq \pi }$. Можна продиференціювати ${\displaystyle \cos y=x}$ по x.

Але простіше скористатися рівністю ${\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2}$, звідки ${\displaystyle (\arccos x)'=-(\arcsin x)'}$:

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.

Похідна arctg x

Нехай ${\displaystyle y=\arctan x}$, де ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$. Продиференціюємо ${\displaystyle \operatorname {tg} y=x}$ по x:

${\displaystyle {d \over dx}\operatorname {tg} y={d \over dx}x}$

${\displaystyle {1 \over \cos ^{2}y}\cdot {dy \over dx}=1}$

Підставимо в неї ${\displaystyle {1 \over \cos ^{2}y}=1+\operatorname {tg} ^{2}y}$, а потім ${\displaystyle x=\operatorname {tg} y}$:

${\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$.

Похідна arcctg x

Використаємо тотожність ${\displaystyle \operatorname {arctg} x+\operatorname {arcctg} x={\dfrac {\pi }{2}}}$ звідки:

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}\operatorname {arcctg} x={\dfrac {d}{dx}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} x\right)={\dfrac {-1}{1+x^{2}}}}$.

Похідна arcsec x

Використаємо таку тотожність:

${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$,

де

${\displaystyle |x|\geq 1}$ and ${\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}$

Тоді застосовуючи ланцюгове правило:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$.

Див. також

• Таблиця похідних

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1000+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Шкіль М. І. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 2005. — 447 с.(укр.)
• Основні правила та формули диференціювання // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 240-242. — 594 с.