Мінор матриці

Мінором ${\displaystyle \ k}$-го порядку матриці ${\displaystyle \ A}$ називається визначник, утворений елементами матриці на перетині ${\displaystyle \ k}$ стовпців та ${\displaystyle \ k}$ рядків.

Формальне означення

Нехай ${\displaystyle \ A=(a_{ij})}$ — матриця розміру ${\displaystyle \ m\times n}$, в якій вибрано довільні ${\displaystyle \ k}$ ${\displaystyle (k\leqslant n,k\leqslant m)}$

• рядків з номерами ${\displaystyle \ i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}}$ та
• стовпців з номерами ${\displaystyle \ j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}.}$

Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку ${\displaystyle \ k}$.

Визначник матриці, яка одержується з ${\displaystyle \ A}$ викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором ${\displaystyle \ k}$-го порядку, розташованим в рядках з номерами ${\displaystyle \ i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}$ та стовпцях з номерами ${\displaystyle \ j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$.

${\displaystyle M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_{1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.}$

Якщо${\displaystyle \ A}$ є квадратною матрицею, визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці${\displaystyle \ A}$ називається доповнювальним мінором до мінору ${\displaystyle A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}}$

${\displaystyle {\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_{n}}\end{pmatrix}},}$

де ${\displaystyle \ i_{k+1}<\ldots <i_{n}}$ та ${\displaystyle \ j_{k+1}<\ldots <j_{n}}$ — номери не вибраних рядків і стовпців.

Пов'язані означення

• Мінором ${\displaystyle \ M_{ij}}$ елемента ${\displaystyle \ a_{ij}}$ квадратної матриці ${\displaystyle \ A}$ порядку ${\displaystyle \ n}$ називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника ${\displaystyle \ |A|}$ n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент ${\displaystyle \ a_{ij}.}$

• Нехай ${\displaystyle \ \Delta _{k}}$ — деякий мінор порядку ${\displaystyle \ k}$ матриці ${\displaystyle \ A}$. Мінор порядку ${\displaystyle \ k+1}$ матриці називається оточуючим для мінора ${\displaystyle \ \Delta _{k}}$, якщо його матриця містить в собі матрицю мінору ${\displaystyle \ \Delta _{k}}$. Таким чином, оточуючий мінор для мінора ${\displaystyle \ \Delta _{k}}$ можна одержати дописуючи до нього один рядок і один стовпчик.

• Базисним мінором ненульової матриці ${\displaystyle A}$ (існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує. Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів. Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.
• Для ${\displaystyle \ m\times n}$-матриці ${\displaystyle A}$ мінори виду ${\displaystyle M_{i_{1},\ldots ,i_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}}$, де${\displaystyle \ i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}}$ і ${\displaystyle (k\leqslant n,k\leqslant m)}$ називаються головними мінорами. Тобто для цих мінорів обираються однакові номери для рядків і стовпців. Головні мінори переважно розглядають для квадратних матриць.

Приклади

• Розглянемо матрицю ${\displaystyle A}$ розміру ${\displaystyle \ m\times n}$:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},\qquad M_{2,3}^{1,2}={\begin{array}{|cc|}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\\\end{array}}}$ — мінор 2-го порядку.

Загалом для цієї матриці є ${\displaystyle {C_{m}^{2}}{C_{n}^{2}}}$ мінорів другого порядку.

• Мінор ${\displaystyle \ M_{23}}$ квадратної матриці ${\displaystyle \ A}$ — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\,\\\,\,\,3&0&5\,\\-1&9&\!11\,\\\end{pmatrix}},\qquad M_{23}={\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix}}}$ ${\displaystyle \longrightarrow }$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=\left(9-\left(-4\right)\right)=13.}$

Властивості

• Для матриці ${\displaystyle A}$ розміру ${\displaystyle \ m\times n}$ існує ${\displaystyle {C_{m}^{k}}\cdot {C_{n}^{k}}}$ різних мінорів порядку ${\displaystyle \ k}$, де ${\displaystyle (k\leqslant n,k\leqslant m)}$.

• Теорема Лапласа. Нехай ${\displaystyle \ A=(a_{ij})}$ — квадратна матриця розміру ${\displaystyle \ n\times n,}$ в якій вибрано довільні ${\displaystyle \ k}$ рядків. Тоді визначник матриці ${\displaystyle \ A}$ рівний сумі всіляких добутків мінорів ${\displaystyle \ k}$-го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

${\displaystyle \det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},}$

де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців ${\displaystyle \ j_{1},\ldots ,j_{k}.}$ Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати ${\displaystyle k}$ стовпців з ${\displaystyle n}$, тобто біноміальному коефіцієнту ${\displaystyle \textstyle {n \choose k}}$.

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

• Теорема про базисний мінор

1. Рядки ненульової матриці ${\displaystyle \ A}$ на яких будується її базисний мінор ${\displaystyle \ \Delta _{r}}$ є лінійно незалежними.
2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

• Нехай ${\displaystyle A}$ є матрицею розміру ${\displaystyle \ m\times n}$, ${\displaystyle B}$ є матрицею розміру ${\displaystyle \ n\times p}$ і ${\displaystyle C=AB}$ є їх добутком. Позначатимемо ${\displaystyle _{A}M,\ _{B}M,\ _{C}M}$ мінори відповідних матриць. Тоді для мінора ${\displaystyle _{C}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}}$ де ${\displaystyle k\leqslant p,k\leqslant m}$ і ${\displaystyle \ i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}}$ є номерами рядків, а ${\displaystyle \ j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}}$ — номерами стовпців, якщо ${\displaystyle k>n,}$ то ${\displaystyle _{C}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=0.}$ В іншому випадку цей мінор одержується через мінори матриць ${\displaystyle \ A}$ і ${\displaystyle B}$ за допомогою формули:

  ${\displaystyle _{C}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\sum _{1\leqslant l_{1}<\ldots <l_{k}\leqslant n}\ _{A}M_{l_{1},\ldots ,l_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}\cdot \ _{B}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{l_{1},\ldots ,l_{k}}.}$

  Дана формула є узагальненням формули Біне — Коші.

• Із попереднього узагальнення формули Біне — Коші випливає, що сума головних мінорів однакового порядку матриць ${\displaystyle AB}$ і ${\displaystyle BA}$ є однаково.
• Характеристичний многочлен ${\displaystyle \ p_{A}(\lambda )=\det(A-I_{n}\lambda )}$ квадратної матриці ${\displaystyle A}$ можна записати як ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}m_{i}(A)\lambda ^{n-i}}$, де ${\displaystyle m_{i}(A)}$ позначає суму головних мінорів порядку ${\displaystyle i}$ матриці ${\displaystyle A.}$ Як наслідок суми головних мінорів однакового порядку двох подібних матриць є рівними. Зокрема єдиним головним мінором максимального порядку є визначник, а сума головних мінорів порядку 1 називається слідом матриці.

Див. також

• Портал «Математика»

• Теорія матриць
• Матриця (математика)
• Визначник
• Ранг (лінійна алгебра)
• Формула Біне — Коші

Джерела

• Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляційні матриці та ядра та малі коливання механічних систем. — 2025. — 400 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• С.С.Шестаков, С.І.Доценко. Визначники, матриці та системи лінійних рівнянь^{[недоступне посилання з липня 2019]}. Курс лекцій з алгебри для студентів факультету кібернетики.