Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Досконале число

З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Досконале число
Remove ads

У теорії чисел досконале число  натуральне число, що дорівнює сумі його додатних дільників, не враховуючи самого числа. Наприклад, 6 має дільники 1, 2, 3 (не враховуючи його самого), , тому 6  — досконале число.

Thumb
Ілюстрація досконалого числа 6

Сума дільників числа, не враховуючи самого числа, називається аліквотною сумою[en], тому досконале число  — це число, що дорівнює його аліквотній сумі. Що рівносильно, що досконале число  — число, яке є половиною суми всіх своїх додатних дільників, враховуючи себе. У символьному записі: , де  функція суми дільників числа . Наприклад, 28  — досконале, оскільки .

Це стародавнє означення, воно з'явилось ще в Началах Евкліда (VII.22), де такі числа називалися досконалими, ідеальними чи повними. Евклід також довів правило утворення (IX/36), за яким є парним досконалим числом тоді, коли , і  — прості числа. Такі називаються простими числами Мерсенна[en]. Через два тисячоліття Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають таку форму[1]. Цей результат відомий як теорема Евкліда-Ейлера[en].

Невідомо, чи існують непарні досконалі числа і чи є нескінченною послідовність досконалих чисел. Декілька перших досконалих чисел  6, 28, 496[en], 8128[en] (див. послідовність послідовність A000396 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Remove ads

Історія

Приблизно в 300-му році до н. е. Евклід показав, що, якщо  — просте число, то  — досконале число. Перші 3 досконалі числа були єдиними, які знала давньогрецька математика і число 8128, яке знайшов Нікомах приблизно у 100-му році н. е.[2] Нікомах стверджував без доведення, що будь-яке досконале число має вигляд , де  — просте число.[3][4] Здається, він не знав, що також має бути простим числом. Також він помилково вважав, що досконалі числа по черзі закінчуються на 6 і на 8 (перші п'ять досконалих чисел закінчуються на 6, 8, 6, 8, 6 відповідно, але шосте закінчується знову на 6). Філон Олександрійський у своїй книзі першого століття «Про створення світу» згадує досконалі числа, стверджуючи, що світ був створений за 6 днів, а Місяць здійснює повний оберт по орбіті за 28 днів, тому що 6 і 28  — досконалі. До Філона приєднались Оріген[5] і Дідим Сліпець, котрі зазначають, що є лише чотири досконалі числа, менші за 10000 (коментар до книги Буття 1.14-19).[6] Св. Августин на початку п'ятого віку н. е. зазначає досконалі числа у книзі «Місто Боже» (книга XI, глава 30), повторюючи висловлювання, що Бог створив світ за 6 днів, бо 6  — найменше досконале число. Єгипетський математик Ізмаїл ібн Фоллус (1194-1252) згадує наступні три досканалі числа (33,550,336; 8,589,869,056; 137,438,691,328) і ще декілька, які виявились хибними.[7] Перша згадка п'ятого досконалого числа європейцями  — рукопис, написаний між 1456 і 1461 роками невідомим математиком.[8] У 1588 році італійський математик П'єтро Катальді знайшов шосте (8,589,869,056) і сьоме (137,438,691,328) досконалі числа, а також довів, що кожне досконале число, отримане з правила Евкліда, закінчується на 6 чи 8.[9][10][11]

Remove ads

Парні досконалі числа

Узагальнити
Перспектива

Див. також: Теорема Евкліда-Ейлера[en].

Евклід довів, що є досконалими, коли є простим (Начала, твердження IX.36).

Наприклад, перші чотири досконалі числа, отримані за допомогою цієї формули:

при :  
при :  
при :  
при :  

Прості числа вигляду , відомі як прості числа Мерсенна[en], названі на честь монаха сімнадцятого століття Марена Мерсенна, що вивчав теорію чисел і досконалі числа. Для того, щоб було простим, необхідно щоб і було простим. Але це не достатня умова; наприклад, не є простим[12]. Насправді, прості числа Мерсенна дуже рідкісні  — з 2.610.944 простих чисел менших 43112609[en][13], число є простим лише для 47 з них.

Хоча Нікомах стверджував (без доведення), що всі досконалі числа мають вигляд , де  — просте число (саме твердження було трохи в іншій формі), Ібн аль-Хайсам приблизно в 1000-му році н. е. припускав, що формула описує лише будь-яке парне досконале число[14]. Тільки в XVIII столітті Леонард Ейлер довів, що формула описує всі парні досконалі числа. Таким чином існує взаємно однозначна відповідність між парними досконалими числами і простими числами Мерсенна; кожне просте число Мерсенна породжує одне парне досконале число, і навпаки. Цей результат часто називають теоремою Евкліда-Ейлера[en].

Вичерпний пошук у рамках проекту GIMPS показав, що першим 47-ми парним досконалим числам вигляду відповідають[15]

= 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 і 43112609 послідовність A000043 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.[16]

Також знайдено п'ять більших досконалих чисел, а саме при =57.885.161, 74.207.281, 77.232.917, 82.589.933 і 136.279.841, але в цих межах можуть бути й інші. Станом на жовтень 2024 року відомо 52 простих чисел Мерсенна[17] і, відповідно, 52 парних досконалих чисел (найбільше з яких   з 82.048.640 цифрами). Невідомо чи існує нескінченно багато досконалих чисел і простих чисел Мерсенна.

Крім того, що будь-яке парне досконале число має вигляд , воно ще є -им трикутним числом (і, як наслідок, є сумою цілих чисел від 1 до ), а також є -им шестикутним числом. Більш того, будь-яке парне досконале число (за винятком 6) є -им центрованим дев'ятикутним числом, а значить воно дорівнює сумі перших непарних кубів:

Парні досконалі числа (крім 6) мають вигляд

,

де кожне трикутне число , , після віднімання одиниці і ділення на дев'ять закінчується на 3 або 5; послідовність починається з , , , [18] Це можна переформулювати наступним чином: сумування цифр будь-якого парного досконалого числа (крім 6), а потім повтор таких дій з отриманими результатами до моменту, коли залишиться одна цифра (знаходження цифрового кореня), дасть в результаті одиницю. Наприклад, цифровий корінь числа 8128 дорівнює одиниці, бо , , . Це справедливо для усіх чисел вигляду , де  — непарне число.

Завдяки своїй формі кожне парне досконале число записується у двійковій системі як одиниць, а за ними нулів. Наприклад,

Таким чином парні досконалі числа є згубними числами[en].

Кожне парне досконале число також є практичним числом.

Remove ads

Непарні досконалі числа

Узагальнити
Перспектива

Невідомо чи існує хоч якесь непарне досконале число, хоча деякі результати у цьому напрямі були отримані. У 1496 році Жак Лефевр стверджував, що правило Евкліда дає абсолютно всі досконалі числа[19], з чого слідує відсутність непарних досконалих чисел. Ейлер стверджував, що найважчим питанням є питання існування непарних досконалих чисел[20]. Нещодавно Карл Померанс[en] представив евристичний аргумент[en], який передбачає, що дійсно непарного досконалого числа не має існувати[21]. Усі досконалі числа також є гармонічними числами Оре[en], а також існує гіпотеза, що немає непарних гармонічних чисел Оре (крім одиниці).

Будь-яке непарне досконале число має задовольняти наступним умовам:

  • [22]
  • не ділиться на 105[23]
  • конгурентне або 1 по модулю 12, або 117 по модулю 468, або 81 по модулю 324[24]
  • має вигляд , де
  • є різними простими числами (Ейлер);
  • (mod 4) (Ейлер);
  • Найменший простий дільник числа менший за ;[25]
  • Або , або для деякого ;[22]
  • ;[26][27]
  • ;[28][29]
  • .[30]
  • Найбільший простий дільник числа більший за [31] і менший за .[32]
  • Наступний найбільший простий дільник більший за і менший за .[33][34]
  • Третій найбільший простий дільник більший за 100.[35]
  • має щонайменше 101 простий дільник, де щонайменше 10 різних.[36]
  • Якщо не ділиться на 3, то має щонайменше 12 простих дільників.[37]

Також відомо декілька другорядних результатів, що стосуються показників числа .

  • Не всі (mod 3).[38]
  • Не всі (mod 5).[39]
  • Якщо (mod 3) або (mod 5), найменший простий дільник числа буде знаходитись в межах від до .
  • У загальному випадку, якщо всі мають простий дільник у скінченній множині , то найменший простий дільник числа має бути найменшим за ефективно обчислювальну константу, що залежить лише від .
  • Якщо з одиницями і двійками, то .[40]
  • ,[41] , .[42]
  • Якщо , то
  • не може дорівнювати 3,[43] 5, 24,[44] 6, 8, 11, 14 або 18.[42]
  • і .[45]

У 1888 році Сильвестр стверджував: «… довгі роздуми на цю тему переконали мене, що існування будь-якого такого (непарного досконалого) числа  — це вихід із величезної павутини умов, що його оточують, і є просто чудом.»[46]

Багато властивостей, доведених відносно непарних досконалих чисел, також стосуються чисел Декарта[en], а тому Пейс Нільсен припустив, що достатнє вивчення таких чисел може привести до доведення відсутності непарних досконалих чисел.[47]

Remove ads

Незначні результати

Узагальнити
Перспектива

Усі парні досконалі числа мають дуже точну форму; непарні досконалі числа або не існують, або є дуже рідкісними. Є цілий ряд результатів щодо досконалих чисел, які насправді досить легко довести, але, втім, є вражаючими; деякі з них підходять під сильний закон малих чисел[en] Річарда Ґая:

  • 28  — єдине парне досконале число вигляду [48]
  • 28  — також єдине парне досконале число, яке є сумою кубів двох додатних чисел[49]
  • Сума чисел, обернених до дільників досконалого числа, дорівнює двійці (щоб отримати це, необхідно скористатися означенням досконалого числа і поділити обидві частини рівності на ):
  • Для 6 маємо: ;
  • Для 28 маємо: , і так далі.
  • Кількість дільників будь-якого досконалого числа (парного чи непарного) має бути парною, оскільки досконале число не може бути повним квадратом[50]
  • З двох зазначених вище властивостей випливає, що кожне досконале число є гармонічним числом Оре[en].
  • Парні досконалі числа не є трапецієвидними числами[en]; тобто їх не можна представити у вигляді різниці двох додатних непослідовних трикутних чисел. Існує лише три типи нетрапецієвидних чисел: парні досконалі числа, степені двійки і числа вигляду , які утворені як добуток простого числа Ферма та , що аналогічно побудові досконалих чисел з простих чисел Мерсенна.[51]
  • Кількість досконалих чисел менших за менша за , де  — додатна константа.[52] Насправді це (використовується позначення -малого).[53]
  • Кожне парне досконале число закінчується на 6 чи 28 в десятковій системі і закінчується на 1 (за винятком числа 6) в системі за базою 9[54][55]. Тому цифровий корінь будь-якого парного досконалого числа (відмінного від 6) дорівнює 1.
  • 6  — єдине досконале число, яке є безквадратичним.[56]
Remove ads

Пов'язані поняття

Thumb
Діаграма Ейлера для надлишкових, недостатніх, досконалих і т. д. чисел, менших за 100.

Сума власних дільників дає різні інші види чисел. Числа, де сума їх дільників менша за саме число, називають недостатніми, а де більша  надлишковими. Ці терміни і саме поняття досконалих чисел прийшло до нас з грецької нумерології. Пари чисел, які є сумами власних дільників один одного, називаються дружними, а більші цикли таких чисел називаються компанійськими[en]. Натуральне число таке, що кожне менше за нього натуральне число є сумою його різних дільників, називається практичним.

За означенням, досконале число  нерухома точка обмеженої функції дільників[en] , а пов'язана з досконалими числами аліквотна послідовність[en] є постійною послідовністю. Всі досконалі числа також є -досконалими або числами Гранвіля[en].

Напівдосконале число  — натуральне число, яке дорівнює сумі всіх або деяких власних дільників. Напівдосконале число, яке дорівнює сумі всіх власних дільників, є досконалим числом. Більшість надлишкових чисел також є напівдосконалими; надлишкові числа, що не є напівдосконалими, називаються дивними[en].

Remove ads

Див. також

Примітки

Посилання

Література

Додаткова література

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads