Діаметр множини

У математиці діаметром множини точок метричного простору називають найбільшу відстаннь між точками множині. Важливий окремий випадок, коли діаметр метричного простору є найбільшою відстанню між будь-якими двома точками простору. Це узагальнює діаметр кола, коли він є найбільшою відстанню між двома точками на колі. Таке використання діаметра також зустрічається в медичній термінології щодо ураження або в геології щодо гірської породи.

Діаметр множини — найбільша відстань.

Обмежена множина — це множина, діаметр якої скінченний. У межах обмеженої множини всі відстані не перевищують діаметр.

Формальне визначення

Діаметр об'єкта — це найменша верхня межа (позначається як «sup») множини всіх відстаней між парами точок в об'єкті. Явно, якщо ${\displaystyle S}$ — це множина точок із відстанями, які визначаються метрикою ${\displaystyle \rho }$, то діаметр^[1][2] $${\displaystyle \operatorname {diam} (S)=\sup _{x,y\in S}\rho (x,y).}$$

Для порожньої множини

Діаметр порожньої множини може визначатися по різному. Його можна визначити як нуль^[2][3], ${\displaystyle -\infty }$,^[3] або залишити невизначеним.

В евклідовому просторі

Для будь-якої обмеженої множини в евклідовій площині або евклідовому просторі діаметр об'єкта або множини дорівнює діаметру його опуклої оболонки. Для будь-якої опуклої фігури на площині діаметр — це найбільша відстань, яка може бути утворена між двома протилежними паралельними прямими, дотичними до її межі.^[4]

Відношення до інших мір

Діаметр кола рівно вдвічі більший за його радіус. Однак це справедливо лише для кола і лише в евклідовій метриці. Теорема Юнга надає більш загальні нерівності, що зв'язують діаметр з радіусом.^[5] Ізодіаметрична нерівність або нерівність Бібербаха, споріднена з ізопериметричною нерівністю, стверджує, що для заданого діаметра плоска форма з найбільшою площею є диском, а тривимірна форма з найбільшим об'ємом є сферою.^[6][7] Багатокутники з максимальною площею при заданому діаметрі та кількості сторін — це, так звані, найбільші маленькі багатокутники.^[8]

Подібно до того, як діаметром двовимірної опуклої множини називається найбільша відстань між двома паралельними прямими, що дотичні до множини і обмежують її, ширину часто визначають як найменшу таку відстань.^[4] Діаметр і ширина рівні лише для тіла постійної ширини, у якого всі пари паралельних дотичних площин розташовані на однаковій відстані. Кожна множина обмеженого діаметра на евклідовій площині є підмножиною тіла постійної ширини з тим самим діаметром.^[9]

Обчислення

Докладніше: Діаметр (обчислювальна геометрія)

Діаметр або ширину двовимірного набору точок або багатокутника можна ефективно обчислити за допомогою обертових штангенциркулів(інші мови).^[4] Алгоритми для обчислення діаметрів у багатовимірних евклідових просторах також досліджуються в обчислювальній геометрії; див. діаметр (обчислювальна геометрія)(інші мови).

У диференціальній геометрії

У диференціальній геометрії діаметр є важливим глобальним рімановим інваріантом. Кожен компакт у рімановому многовиді та кожен компактний рімановий многовид має скінченний діаметр. Наприклад, одинична сфера будь-якої розмірності розглядається як рімановий многовид та має діаметр ${\displaystyle \pi }$. Це значення діаметра відрізняється від випадку, коли сфера розглядається як підмножина евклідового простору (тоді діаметр би дорівнював двом), тому що, на сфері, як для ріманового многовида, відстані вимірюються вздовж геодезичних.^[10]

У рімановому многовиді, кривина Річчі якого має додатну сталу нижню межу, за теоремою Майєрса, діаметр також обмежений. Згідно з теоремою Ченга про максимальний діаметр, єдиний многовид з найбільшим діаметром для заданої нижньої межі кривини — це сфера з такою кривиною. Теорема названа на честь Шіу-Юен Ченга(інші мови), який опублікував її в 1975 році.^[10][11]

Для графів

У теорії графів діаметр зв'язного неорієнтованого графа — це найбільша відстань між будь-якими двома його вершинами. Тобто, це діаметр множини для множини вершин графа та для відстані найкоротшого шляху в графі. Діаметр можна розглядати як для зважених, так і для незважених графів. Розв'язувалася задача обчислення діаметра як у довільних графах, так і в спеціальних класах графів.

Окремими випадками діаметра графа є діаметр групи(інші мови), визначений за допомогою графа Кейлі з найбільшим діаметром, можливим для даної групи, і діаметр перевернутого графа^[en] тріангуляцій множини точок — мінімальна кількість локальних переміщень, необхідних для перетворення однієї тріангуляції в іншу для двох тріангуляцій, вибраних на максимально можливій відстані одна від одної.