Тензор Річчі

Тензор Річчі, названий на честь Грегоріо Річчі-Курбастро, задає один із способів вимірювання кривини многовиду, тобто ступеня відмінності геометрії многовиду від геометрії плоского евклідового простору. Тензор Річчі, точно так само як метричний тензор, є симетрична білінійна форма на дотичному просторі ріманового многовиду. Грубо кажучи, тензор Річчі вимірює деформацію об'єму, тобто ступінь відмінності n-вимірних областей n-вимірного многовиду від аналогічних областей евклідового простору.

Зазвичай позначається ${\displaystyle \mathrm {Ric} }$ або ${\displaystyle \mathrm {Rc} }$.

Означення

Нехай ${\displaystyle (M,g)}$ — n-вимірний ріманів многовид, а ${\displaystyle T_{p}M}$ — дотичний простір до M в точці p. Для будь-якої пари ${\displaystyle \xi ,\eta \in T_{p}M}$ дотичних векторів в точці p, тензор Річчі ${\displaystyle \mathrm {Ric} (\xi ,\eta )}$, за означенням, відображає ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ в слід лінійного автоморфізма ${\displaystyle T_{p}M\to T_{p}M}$, що заданий тензором кривини Рімана R:

${\displaystyle \zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi }$

Якщо на многовиді задані локальні координати, то тензор Річчі можна розкласти за компонентами:

${\displaystyle \operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}}$

де ${\displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.}$ — слід тензора Рімана в координатному представлені.

Джерела

• Разумова М.А., Хотяїнцев В.М. Основи векторного і тензорного анализу. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2011. — 216 с.(укр.)
• Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — 304 с. — ISBN 5-7768-0388-8.
• Levi-Civita, T (1927). The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). London. с. 450.(англ.)
• А.Дж. Мак-Коннел. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии,механике и физике. — М. : Физмат. литературы, 1963. — 411 с.(рос.)
• Рашевский П. К. Ведение в риманову геометрию и тензорный анализ. — М. : ОНТИ НКТП, 1936. — 200 с.(рос.)
• Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. — М. : Высшая школа, 1966. — 254 с.(рос.)