Експонента (функція)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Експонента.

Експонента — показникова функція ${\displaystyle f(x)=\exp(x)=e^{x}}$, де ${\displaystyle e}$ — число Ейлера ${\displaystyle (e\approx 2,718)}$.

Графік експоненти ${\displaystyle y=e^{x}}$ (синім).
Дотична (червоним) в нулі у функції ${\displaystyle e^{x}}$ нахилена на ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}~(45^{\circ })}$.
Поруч для прикладу показано ${\displaystyle y=2^{x}}$ (точками) і ${\displaystyle y=4^{x}}$ (пунктиром)

Визначення

Експоненціальна функція може бути визначена різними еквівалентними способами. Наприклад, через ряд Тейлора:

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

або через границю:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

Тут ${\displaystyle x}$ — будь-яке комплексне число.

Властивості

• ${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}$, а зокрема, експонента — єдине рішення диференціального рівняння ${\displaystyle y'=y}$ з початковими даними ${\displaystyle y(0)=1}$. Крім того, через експоненту виражаються загальні рішення однорідних диференціальних рівнянь.
• Експонента визначена на всій дійсній осі. Вона всюди зростає і строго більше нуля.
• Експонента — опукла функція.
• Обернена функція до неї — натуральний логарифм ${\displaystyle (\ln x)}$.
• Фур'є-образ експоненти не існує.
• Однак перетворення Лапласа існує.
• Похідна в нулі дорівнює ${\displaystyle 1}$, тому дотична до експоненті в цій точці проходить під кутом ${\displaystyle 45^{\circ }~{\Big (}{\frac {\pi }{4}}{\Big )}}$.
• Основна функціональна властивість експоненти, як і всякої показникової функції:

  ${\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}$.

  • Безперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює ${\displaystyle 0}$, або має вигляд ${\displaystyle \exp(cx)}$, де ${\displaystyle c}$ — деяка константа.

• ${\displaystyle e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x}$, де ${\displaystyle \operatorname {sh} }$ і ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ — гіперболічні синус і косинус.

Комплексна експонента

Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента — математична функція, що задається співвідношенням ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$, де ${\displaystyle z}$ є комплексне число. Комплексна експонента визначається як аналітичне продовження експоненти ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ речовинного змінного ${\displaystyle x}$:

Визначимо формальний вираз

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}}$.

Визначений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції ${\displaystyle e^{z}}$, тобто показати, що ${\displaystyle e^{z}}$ розкладається в деякий збіжний ряд, що збігається до даної функції . Покажемо це:

${\displaystyle f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Збіжність цього ряду легко доводиться:

${\displaystyle \left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}}$.

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі усюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$. Згідно теореми єдиності, отримане продовження буде єдино, отже, на комплексній площині функція ${\displaystyle e^{z}}$ всюди визначена і аналітична.

Властивості

• Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. В жодній точці вона не звертається в нуль.
• ${\displaystyle e^{z}}$ — періодична функція з основним періодом 2πi: ${\displaystyle e^{i\varphi }=e^{i(\varphi +2\pi )}}$. У силу періодичності комплексна експонента безкінечнолистна. В якості її області однолистності можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою ${\displaystyle 2\pi }$.
• ${\displaystyle e^{z}}$ — єдина з точністю до постійного множника функція, похідна (а відповідно, і первісна) якої збігається з вихідною функцією.
• Алгебраїчно експонента від комплексного аргументу ${\displaystyle z=x+iy}$ може бути визначена наступним чином:

  ${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)}$ (формула Ейлера)

  • Зокрема, має місце (тотожність Ейлера),

    ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

Варіації та узагальнення

Аналогічно експонента визначається для елемента довільної асоціативної алгебри. У конкретному випадку потрібен також доказ того, що зазначені межі існують.

Матрична експонента

Експоненту від квадратної матриці (або лінійного оператора) можна формально визначити, підставивши матрицю у відповідний ряд:

${\displaystyle \exp A=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}.}$

Визначений таким чином ряд збігається для будь-якого оператора ${\displaystyle A}$ з обмеженою нормою, оскільки мажорується поруч для експоненти норми ${\displaystyle A:}$ ${\displaystyle \exp \|A\|.}$ Отже, експонента матриці ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ завжди визначена і сама є матрицею.

За допомогою матричної експоненти легко задати вид рішення лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами: рівняння ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}}$ з початковою умовою ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ має своїм рішенням ${\displaystyle x(t)=\exp(At)x_{0}.}$

h-експонента

Введення ${\displaystyle h}$-експоненти засноване на другій чудовій границі:

${\displaystyle e_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.}$

При ${\displaystyle h\to 0}$ виходить звичайна експонента^[1].

Обернена функція

Обернена функція до експоненційної функції — натуральний логарифм. Позначається ${\displaystyle \ln x}$:

${\displaystyle \ln x=\log _{e}x.}$

Див. також

• Експоненційне зростання
• Показникова функція
• Список інтегралів від експоненціальних функцій