Еліпс Штейнера

Існує єдине афінне перетворення, яке переводить правильний трикутник у даний трикутник. Образ вписаного кола правильного трикутника при такому перетворенні є еліпсом, який називають вписаним еліпсом Штейнера, а образ описаного кола також є еліпсом, який називають описаним еліпсом Штейнера.^[1]

Вписаний і описаний еліпси Штейнера для трикутника. Показані червоним кольором

Визначення вписаного еліпса Штейнера

• У трикутник можна вписати нескінченно багато еліпсів.
• Однак у трикутник можна вписати єдиний еліпс, який дотикається до сторін в їх серединах. Такий еліпс називається вписаним еліпсом Штейнера. Його перспектором буде центроїд трикутника.
• Визначення перспектора коніки (включно з конікою-еліпсом) див. нижче.

Визначення описаного еліпса Штейнера

• Навколо трикутника можна описати нескінченно багато еліпсів.
• Однак навколо трикутника можна описати єдиний еліпс, який дотикається до прямих, що проходять через вершини і паралельні сторонам. Такий еліпс називають описаним еліпсом Штейнера.
• Фокуси описаного еліпса Штейнера називають точками Скутіна.
• Чевіани, проведені через фокуси описаного еліпса Штейнера (точки Скутіна), рівні (теорема Скутина).

Афінне перетворення еліпса Штейнера

Якщо афінним перетворенням («перекосом») перевести довільний різнобічний трикутник у правильний трикутник, то його вписаний і описаний еліпси Штейнера перейдуть у вписане й описане кола.

Визначення перспектив коніки

• У трикутник можна вписати нескінченно багато конік (еліпсів, парабол або гіпербол).
• Якщо в трикутник вписати довільну конку і з'єднати точки дотику з протилежними вершинами, то отримані прямі перетнуться в одній точці, званій перспектором коніки.
• Для будь-якої точки площини, що не лежить на стороні або на її продовженні існує вписана коніка з перспектором у цій точці.

Властивості

• Вписаний еліпс Штейнера має найбільшу площу серед усіх еліпсів, вписаних у даний трикутник, а описаний — найменшу серед усіх описаних.
• Вписаний еліпс Штейнера - еліпс, вписаний у трикутник, який дотикається до середин його сторін.

Властивості вписаної параболи

Парабола Кіперта

• (Теорема Мардена) фокуси вписаного еліпса Штейнера є екстремальними точками многочлена третього степеня з коренями у вершинах трикутника на комплексній площині.
• Перспектори вписаних у трикутник парабол лежать на описаному еліпсі Штейнера. Фокус вписаної параболи лежить на описаному колі, а директриса проходить через ортоцентр. Параболу, вписану в трикутник, що має директрисою пряму Ейлера, називають параболою Кіперта. Її перспектор — четверта точка перетину описаного кола і описаного еліпса Штейнера, називана точкою Штейнера.