Транспонована матриця

Транспонована матриця — матриця ${\displaystyle A^{T}}$, що виникає з матриці ${\displaystyle A}$ в результаті унарної операції транспонування: заміни її рядків на стовпчики.

Формально, транспонована матриця ${\displaystyle \ A^{T}=(b_{ij})}$ для матриці ${\displaystyle \ A=(a_{ij})}$ визначається як

${\displaystyle \ b_{ij}=a_{ji},\quad i={\overline {1,n}},\quad j={\overline {1,m}}.}$

Наприклад:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$      та      ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$

Властивості

• ${\displaystyle \ (A^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=A}$ — операція транспонування є інволюцією.
• ${\displaystyle \ (rA)^{\mathrm {T} }=rA^{\mathrm {T} }}$
• ${\displaystyle \ (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }}$ — транспонування є лінійним відображення матриць розміру m×n в матриці розміру n×m.
• ${\displaystyle \ (AB)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }}$
• ${\displaystyle \ (A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }}$
• ${\displaystyle \ \det A=\det A^{T}}$
• Власні значення ${\displaystyle \ A^{T}}$ збігаються з власними значеннями ${\displaystyle \ A}$.
• Якщо елементи матриці ${\displaystyle \ A}$ є дійсними, то матриця ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A}$ — є невід'ємноозначеною матрицею.

Пов’язані означення

• Квадратна матриця, котра після транспонування переходить сама у себе, називається симетричною матрицею

${\displaystyle \ A^{\mathrm {T} }=A}$

• Квадратна матриця, котра після транспонування переходить в негативну матрицю, називається кососиметричною матрицею

${\displaystyle \ A^{\mathrm {T} }=-A}$

• Матриця транспонована, з елементами заміненими на їх комплексне спряження називається спряженою матрицею відносно початкової матриці

${\displaystyle A^{*}=({\overline {A}})^{T}={\overline {A^{T}}}}$

Див. також

• Теорія матриць
• Спряження матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляційні матриці та ядра та малі коливання механічних систем. — 2025. — 400 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)