Корінь з одиниці

Представимо одиницю в тригонометричному вигляді:

1=\cos \ 0+i\ \sin \ 0

(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.\,

одержимо:

u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1

Тут $\ u_{k}$ — корені з одиниці.

Корені з одиниці можна також записати в показниковій формі:

u_{k}=e^{\frac {2\pi ki}{n}},\quad k=0,1,...,n-1

З цих формул випливає, що кількість коренів n-го степеня з одиниці завжди рівна $n$ , і всі вони різні.

Модуль кожного кореня рівний 1. На комплексній площині корені з одиниці утворюють вершини правильного многокутника, вписаного в одиничне коло. Однією з вершин завжди є одиниця.
Якщо $\ u_{k}$ — корінь з одиниці, то спряжене до нього число ${\overline {u_{k}}}$ — теж корінь з одиниці.

Корені з одиниці — цілі алгебраїчні числа.
Корені з одиниці утворюють абелеву групу щодо операції множення. Обернений елемент для кожного елементу цієї групи рівний спряженому елементу. Зокрема, будь-який цілий степінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці.
Група коренів з одиниці ізоморфна адитивній групі лишків $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ . Звідси випливає, що вона є циклічною групою; за породжуючий елемент групи може бути взятий довільний елемент $u_{k}$ $u_{k}$ , індекс $k$ $k$ якого взаємно простий $n$ $n$ .
- Наслідки:
- елемент $u_{1}$ завжди є первісним;
- якщо $n$ — просте число, то степені будь-якого кореня, окрім $\pm 1$ , охоплюють всю групу;
- число первісних коренів рівне $\varphi (n)$ , де $\varphi$ — функція Ейлера.
Якщо $n>1$ , то для суми степенів будь-якого первісного кореня з одиниці $u$ має місце формула: