Лінійне диференціальне рівняння першого порядку

Лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

${\displaystyle y'(x)+f(x)y(x)=g(x).}$

Розв'язок однорідного

Якщо рівняння однорідне, тобто, g(x) = 0, його можна проінтегрувати як рівняння з відокремленими змінними:

${\displaystyle {\frac {y'}{y}}=-f,\qquad \log y=k-F,}$

де k — довільна стала інтегрування та ${\displaystyle F=\textstyle \int f\,dx}$ — невизначений інтеграл від f. Тому, загальним розв'язком однорідного рівняння є

${\displaystyle y=C\,e^{-F},}$

де C = e^k — довільна стала.

Розв'язок неоднорідного

Використовуючи інтегрувальний множник

Для знаходження загального розв'язку неоднорідного рівняння, використаємо як інтегрувальний множник e^F — обернену величину до розв'язку однорідного рівняння. Отримаємо зліва похідну від добутку 2 функцій:

${\displaystyle y'e^{F}+yfe^{F}=ge^{F}.}$

Оскільки ${\displaystyle fe^{F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{F}\right),}$ то правило добутку дозволяє переписати рівняння, як

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ye^{F}\right)=ge^{F}.}$

Проінтегрувавши, отримаємо загальний розв'язок

${\displaystyle y=e^{-F}\left(\int g(x)e^{F}dx+C\right),}$

де С — стала інтегрування, та F — довільна первісна від f.

Методом варіації довільної сталої

Замінивши сталу ${\displaystyle C}$ на невідому функцію ${\displaystyle C(x)}$, і підставивши частковий розв'язок однорідного в неоднорідне рівняння, знайдемо ${\displaystyle C(x)}$:

${\displaystyle C'(x)e^{-F}-C(x)f(x)e^{-F}+f(x)C(x)e^{-F}=g(x)}$

${\displaystyle C'(x)e^{-F}=g(x)}$

${\displaystyle C(x)=\int g(x)e^{F}\,dx+C_{1}.}$

Тоді частковий розв'язок неоднорідного:

${\displaystyle y_{\text{ч.н.}}=Ce^{-F}\int g(x)e^{F}\,dx.}$

Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння та часткового розв'язку лінійного неоднорідного рівняння:

${\displaystyle y_{\text{з.н.}}=y_{\text{з.о.}}+y_{\text{ч.н.}}}$

${\displaystyle y_{\text{з.н.}}=Ce^{-F}+Ce^{-F}\int g(x)e^{F}\,dx}$

Рівняння, що зводяться до нього

Рівняння	Підстановки	Результат	Примітка
${\displaystyle f'(y)y'+P(x)f(y)=Q(x)}$	${\displaystyle z(x)=f(y),\quad z'(x)=f'(y)y'}$	${\displaystyle z'+P(x)z=Q(x)}$
${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)e^{ny}}$	${\displaystyle z(x)=e^{-ny},\quad z'=-ne^{-ny}y'}$	${\displaystyle {\frac {z'}{n}}+P(x)z=Q(x)}$
${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}}$	${\displaystyle z(x)=y^{1-n},\quad z'=(1-n){\frac {y'}{y^{n}}}}$	${\displaystyle {\frac {z'}{1-n}}+P(x)z=Q(x)}$	Диференціальне рівняння Бернуллі

Приклади

Приклад 1

Типовим простим прикладом є моделювання радіоактивного розпаду. Нехай N(t) позначає кількість радіоактивних атомів в деякому зразку матеріалу у час t. Тоді для деякої сталої k>0, кількість радіоактивних атомів, що розпадається, може бути записана як

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-kN.}$

Приклад 2

Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку із сталими коефіцієнтами:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+by=1.}$

Це рівняння застосовне до RC-кіл (ємність-опір) та інерційних демпферів.

В цьому випадку f(х) = b, g(х) = 1, F(х) = bx.

Тож розв'язком є

${\displaystyle y(x)=e^{-bx}\left(e^{bx}/b+C\right)=1/b+Ce^{-bx}.}$

Приклад 3

Розв'яжемо рівняння

${\displaystyle y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=3x.}$

Його однорідне рівняння запишемо як рівняння з відокремленими змінними

${\displaystyle {\frac {y'}{y}}=-{\frac {1}{x}},}$

і проінтегрувавши отримаємо

${\displaystyle y={\frac {c}{x}}.}$

Поділивши початкове рівняння на один із цих розв'язків, отримаємо

${\displaystyle xy'+y=3x^{2}.}$

Тобто,

${\displaystyle (xy)'=3x^{2},}$

${\displaystyle xy=x^{3}+c,}$

та

${\displaystyle y(x)=x^{2}+c/x.}$

Для початкової умови

${\displaystyle y(1)=\alpha ,}$

отримаємо частковий розв'язок

${\displaystyle y(x)=x^{2}+{\frac {\alpha -1}{x}}.}$

Джерела

• Крижанівський С.Є. Диференціальні рівняння. — Х.: : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 398 с.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1600+ с.(укр.)
• Лінійне диференціальне рівняння першого порядку // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 475. — 594 с.